工程力学教学课件第8章应力状态分析.ppt
1,第八章 应力状态分析,2,第八章 应力状态分析,应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 主应力迹线 三向应力状态 广义胡克定律,目录,3,回顾与比较,内力,应力,目录,4,低 碳 钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,1、问题的提出,81 应力状态的概念,5,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低 碳 钢,铸 铁,81 应力状态的概念,6,P,P,m,m,n,n,P,n,n,k,m,m,P,k,一、一点的应力状态,81 应力状态的概念,7,81 应力状态的概念,一、一点处的应力状态 对弯曲或扭转的研究表明，在构件的同一横 截面内，点的位置不同，其应力就不同。所以，一点的应力是该点坐标的函数。此外，在通过构 件内同一点、不同方位的截面上，应力也不同，即应力随截面方位角的变化而变化。一般地，在受力构件的同一横截面内，点的 位置不同应力就不同，而且在通过同一点的不同 截面上，应力也随截面的方位而变化。,8,81 应力状态的概念,一点处的应力状态是指受力构件内某一点处各截面上的应力的集合。,二、一点处应力状态的表示方法,为了研究受力构件内某一点处的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。,9,81 应力状态的概念,10,81 应力状态的概念,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用 表示，并且该单元体称为主应力单元体。,11,81 应力状态的概念,12,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,81 应力状态的概念,13,81 应力状态的概念,若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。,14,1.斜截面上的应力,8-2 解析法分析二向应力状态,15,1.斜截面上的应力,8-2 解析法分析二向应力状态,16,列平衡方程,8-2 解析法分析二向应力状态,17,利用三角函数公式,并注意到 化简得,8-2 解析法分析二向应力状态,18,8-2 解析法分析二向应力状态,符号：角由x轴逆时针转向外法线n时为正，反之为负。2.正应力以拉应力为正，压应力为负；,19,8-2 解析法分析二向应力状态,符号：剪应力则以对单元体内任意点的矩为顺时 针转向者为正，反之为负。,20,2.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,8-2 解析法分析二向应力状态,21,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3.正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,8-2 解析法分析二向应力状态,22,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,8-2 解析法分析二向应力状态,23,8-2 解析法分析二向应力状态,这两个主应力分别与 和 所确定的主平面相对应。至于两个主平面中，哪个面上作用，哪个面上作用，这种对应关系由下述规则确定：由 和 确定了两个主平面之后，的矢所指向的那一侧即为 的矢的位置。,24,8-2 解析法分析二向应力状态,4、极值剪应力及其所在平面,作用面方位角 为,两个极值剪应力为,剪应力极值的数值，等于两个主应力差值的一半。,25,8-2 解析法分析二向应力状态,4、极值剪应力及其所在平面,26,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,8-2 解析法分析二向应力状态,27,解：,（1）斜面上的应力,8-2 解析法分析二向应力状态,28,（2）主应力、主平面,8-2 解析法分析二向应力状态,29,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,8-2 解析法分析二向应力状态,30,（3）主应力单元体：,8-2 解析法分析二向应力状态,31,n,练习1求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。,解：已知,8-2 解析法分析二向应力状态,32,练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,8-2 解析法分析二向应力状态,33,3,3,1,1,0=67.5,8-2 解析法分析二向应力状态,34,练习3求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：已知,8-2 解析法分析二向应力状态,35,1,1,3,3,0=18.43,8-2 解析法分析二向应力状态,36,由解析法知，任意斜截面的应力为,将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加,8-3 图解法分析二向应力状态,得：,37,取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。,x,x,x,y,y,n,t,y,r,圆心坐标为,半径为,8-3 图解法分析二向应力状态,38,这个方程表示一个圆，这个圆称为应力圆,8-3 图解法分析二向应力状态,39,1.应力圆：,8-3 图解法分析二向应力状态,40,2.应力圆的画法,8-3 图解法分析二向应力状态,41,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力,3、几种对应关系,8-3 图解法分析二向应力状态,42,8-4 梁的主应力及主应力迹线,1,2,4,5,1,2,3,4,5,m,m,1,5,3,1,1,1,1,3,3,3,3,2,3,4,43,梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。,x,1,1截面,2,2截面,3,3截面,4,4截面,i,i截面,n,n截面,主应力迹线的画法：,8-4 梁的主应力及主应力迹线,44,图示为悬臂梁的主应力迹线,实线表示拉主应力迹线；,虚线表示压主应力迹线。,8-4 梁的主应力及主应力迹线,45,图示混凝土梁自重下的主应力迹线。,混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。,8-4 梁的主应力及主应力迹线,46,定义,三个主应力都不为零的应力状态,8-5 三向应力状态,47,1、空间应力状态,8-5 三向应力状态,48,2、三向应力圆,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,8-5 三向应力状态,49,max,min,3、最大剪应力,1,2,3,最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面成45角。,8-5 三向应力状态,50,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,8-6 广义胡克定律,51,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,8-6 广义胡克定律,52,8-6 广义胡克定律,53,3、广义胡克定律的一般形式,8-6 广义胡克定律,54,例2边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x、y、z 和应变x、y、z。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,8-6 广义胡克定律,55,P,x,y,z,x,y,z,8-6 广义胡克定律,56,例3已知E=10GPa、=0.2，求图示梁nn 截面上 k 点沿30方向的线应变 30。,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,8-6 广义胡克定律,57,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,8-6 广义胡克定律,58,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,8-6 广义胡克定律,59,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,8-6 广义胡克定律,60,例4薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D，壁厚为t，材料的E、已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一点的轴向应力：,筒壁一点的环向应力：,8-6 广义胡克定律,61,k,p,t,D,x,x,y,y,45,-45,45,-45,8-6 广义胡克定律,62,练习4受扭圆轴如图所示，已知m、d、E、，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab。,A,B,m,m,d,a,b,45,解：,8-6 广义胡克定律,63,A,B,m,m,d,a,b,45,45,-45,8-6 广义胡克定律,
