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小学阶段简便运算分类,九女镇智楼小学：翟艳春,教学目标,1、知识与技能：使学生掌握分数四则混合运算的运算顺序，能正确地进行计算。了解整数运算律对分数同样适用，并能正确、灵活进行分数的简便运算。使学生能解决一些稍复杂的分数应用题。2、过程与方法：学生通过“一看、二想、三算、四查”四个步骤能正确计算分数四则混合运算，培养学生认真审题、细心检查等良好学习习惯。3、情感、态度、价值观：通过计算联系向学生渗透运算的逻辑性，相互影响地激发学生的求知欲望，让学生在民主、和谐、活跃的课堂氛围中创造性地进行学习。,二 教学重难点,重点：使学生联系已有的整数、小数四则混合运算的知识，理解并掌握分数四则混合运算的运算顺序。难点：能正确进行分数的四则混合运算；了解整数运算律对分数同样适用，并能应用运算律，进行有关分数的简便计算。,简便运算,四则混合运算中常出现的错误是不按规定的顺序进行计算。产生错误的原因是多方面的，首先是由于四则混合运算的步骤一般较多，除了包含加、减、乘、除外，还有小括号、中括号，有时既有整数，又有小数，还有分数，往往顾此失彼。再加上特殊数“0”和“1”的参与就更容易出错了。简便运算的出现也是四则混合运算出错的主要原因，简便运算主要是依据有关的运算定律和性质，需要改变运算顺序，或交换位置，或改变运算符号。而这些改变就让学生对运算顺序的坚持有了怀疑，有时为了简便就忽略了运算顺序。造成计算出错。,一.,简便运算的教学目标,主要以训练简便计算技巧为主进行教学。简便计算是训练学生计算能力和思维能力的一个重点。在运算过程中，如果我们能仔细观察题目中符号和数的特点，巧妙选择合适的方法，计算就会变得迅速、准确，其乐无穷。培养自觉应用简便计算的意识。,经过整理归类，我发现学生简便运算主要会有以下三类错误。错误一：对运算定律混淆不清如：18101=181001=1800 12548=125（40+8）=12540+8=5008 12548=125（40+8）=125401258=5000000 2564125=25（60+4）125=2560+4125=2000这些错误的发生，说明了学生对乘法结合律和乘法分配律这两条运算定律产生了混淆。这是由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生造成知觉上的错误。错误二：对运算性质理解不深如：1685636168（5636）I48 174-（74-38）=174-74-38=62356-（56+98）=356-56+98=398这种错误主要原因是学生对减法和除法的性质以及加括号去括号的原则理解不清。错误三：对特殊数字判别不明如：3855+1845=38（55+45）=3800 56284428=28（56+44）=2800 254254=1,经过整理归类，我发现学生简便运算主要会有以下三类错误。错误一：对运算定律混淆不清如：18101=181001=1800 12548=125（40+8）=12540+8=5008 12548=125（40+8）=125401258=5000000 2564125=25（60+4）125=2560+4125=2000这些错误的发生，说明了学生对乘法结合律和乘法分配律这两条运算定律产生了混淆。这是由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生造成知觉上的错误。,错误二：对运算性质理解不深如：1685636168（5636）I48 174-（74-38）=174-74-38=62356-（56+98）=356-56+98=398这种错误主要原因是学生对减法和除法的性质以及加括号去括号的原则理解不清。错误三：对特殊数字判别不明如：3855+1845=38（55+45）=3800 56284428=28（56+44）=2800 254254=1,学生做题时没有先分析式题结构，只是看到两个数相加正好凑成100，于是便错误使用乘法分配律。针对学生出现的以上三种错例，我在简便运算教学时做了以下几点尝试，以切实提高学生的简算能力。一、激发运算兴趣1、结合生活情境。苏霍姆林斯基说过“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件”所以不要单独的出一些简算题，而是把题目放在具体的生活情境中，让学生感到简算就在生活中就在身边，生活中处处有数学，既加深了数学与生活的联系，有提高了学生学习的兴趣。2、开展竞赛活动。数学课堂需要比赛，无论年级的高低，竞赛是最好的调动学生学习的方法。在竞赛中，学生增长了竞争意识，同时也巩固了所学知识。在课中可以开展小小的竞赛活动，如开展简算小能手、改错小能手、接力比赛等数学竞技活动。这些竞赛活动不但可以增强学生的学习兴趣，更可以让学生进一步感受简算可以使计算快速简便的好处。二、加强基本训练1、理解定律性质 许多简便运算都是充分合理地应用运算定律、性质的结果。如果学生没有理解运算定律、性质，简便运算就是无本之木、无源之水，只能是照葫芦画瓢，在题目明确要求用简便方法时才简算，题目没有明确要求用简便方法计算时，即使算式有简算条件，也不会自觉地采用简便方法计算。因此，教师在课堂上应让学生充分经历探究运算定律、运算性质的全过程，通过计算、观察、交流、归纳等数学活动，使学生能对获得结论的合理性作出解释。,2、掌握特殊数据。要提高学生简便运算的能力，除了要学生熟记各种运算定律与性质外，还要让学生掌握一些特殊数据。如几加几等于整十数，整百数、25乘以4，125乘以8等，这些数据特征鲜明，标志清晰，掌握这些特殊数据，可以提高学生发现简算条件的能力，帮助学生缩短思维过程，提高简算的运算速度。3、强化口算练习。在简便运算中，加强基本训练的一个重要环节就是要加强口算练习。口算就是心算,口算能力强了，计算的速度准确率就会大大提高。这不仅利于学生及时巩固定律、性质、法则，提高计算能力，更可以培养学生思维的敏捷性。三、掌握解题技巧 要提高学生简便运算能力，就必须要让学生掌握简便运算的解题技巧。我把它归纳为三步曲：一找二变三估。一找，就是找题目的特征。做题前要求学生先由总体到部分，由运算符号到参加运算的数的特点进行全面观察。结合学过的有关知识，寻找简便运算的方法。让学生明白要把一个数分成两个数的和、差、积，以达到简算的目的。有些题目，简便运算的步骤隐藏在运算过程中，因此，每完成一步运算都要认真观察，从中发现简算条件，进行简便运算。二变，就是变换运算方式。计算时要突破算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序，使简算特征从隐性变为显性，从而让计算过程化繁为简、变难为易。如：计算“1253225”这道题时，看到125就应想到它与8相乘得1000，看到25马上就想到它与4相乘得100，因此，将32看成是8与4的积，这样这道题实际就是(1258)(425)，学生一看很快就得出结果就是1000100=100000。,又如：“1345-125-875”可以利用减法的性质将原题变为“1345-（125+875）”括号里面的结果刚好是1000，因此1345-1000就得到345。又如：“1500254”利用除法的性质使原题变为1500（254）得1500100最后结果得15。使整个计算过程口算化。三估，就是估测计算结果。估测就是检查即加强心算（估算）过程教学，培养计算能力，增强计算的正确率。检查的方法很多，可以先把原数看成最接近的整数再进行计算，也可以用末尾计算法。如果是小数还可以用小数位数法。为了更好地掌握简便运算的算理我把简便运算简单地进行了分类根据以下分类以及分类的依据、算理可以让学生更好地掌握简算的方法和技巧。提高简算能力以至对计算的兴趣。,只是为了简便忽略了运算顺序,14.6-7.8+4.6=14.6-4.6+7.8=17.81/21/2 1/2 1/2=1/4 1/4=1100+2-100+2=102-102=03/7+4/7 5/6=1 5/6=6/512(3+4)=12 3+12 4=4+3=7,简便运算的分类,1.凑整先算298+304+196+502=（298+502）+（304+196）3/7+2/5+4/7+3/5=(3/7+4/7)+（2/5+3/5)2.带符号搬家3/8-1/4+13/8-3/4=7.54.96.5=78 23 39=思考：能带符号搬家吗？什么情况下才能带符号搬家？带符号搬家需要注意什么？3.减法和除法的性质 9/7-1/6-5/6=9/7-（1/6+5/6）427 2 5 4=42 7（25 4）也可以到过来用 42 7（42.7 10/13)=427 42.7 10/13=10 13/10=13 9/7-(2/7+3/5)=9/7-2/7-3/5=1-3/5=2/54.运算律(1).交换律和结合律（凑整）（2）.乘法分配律（应有最广，形式最多，方法最灵活，运算最简便）,a.普通型(a+b)c=a c+b c a c+b c=(a+b)c b.拆分型 6.78 102=6.78(100+2)=6.78 100+6.78 2 5.9 9 9=5.9(100-1)=5.9 100+5.9 1 1 7/1817=17/18(18-1)=17/18 18-17/18 1 7/1819=17/18(18+1)=17/18 18+17/18 c.缺项型 5.9 99+5.9=5.9 99+5.91 2/58+4/5=2/58+2/52=2/5（8+2）5.9 102-11.8=5.9 102-5.92=5.9（102-2）5.9 9.9+0.59=5.9 9.9+5.90.1 d.积不变规律（主要是小数点的变化）6.32.57+25.70.37=6.32.57+2.573.7 e.化除为乘7/9 5/6+7/9 6=7/9 5/6+7/9 1/6 下面那些式子可以简算，为什么？5/12（2/3+1/4）（2/3+1/4）5/12 6.等值变化1234-798=1234-(800-2)=1234-800+2 7.特殊数 198125 1225 2532125,增减括号的原则：1.结合律、分配率（不改变运算符号）2.除法和减法的性质（括号内的运算符号改变）13/7-（6/7+3/5)=13/7-6/7-3/5；13/7-（6/7-3/5)=13/7-6/7+3/5 13/7-6/5+1/5=13/7-(6/5-1/5)13/7-3/5-2/5=13/7-(3/5+2/5)13/7（13/7 3/5）=13/7 13/7 3/5 13/75/3 3/5=13/7（5/3 3/5)思考：什么情况下改变符号？改变的是什么地方的符号？改变的规律是什么？*括号前是减号或除号加括号去括号都要变符号。改变的是括号里面的符号，同级运算符号互变。找出其中能够进行简便运算的部分，并合理地进行简便运算。要想顺利完成这种题，学生必须要透彻理解简算的原理，完全把握简算的本质，既不能把可以简算的题轻易忽略了简算，也不能把无法简算的题错误地进行简算。,只是为了简便忽略了运算顺序,14.6-7.8+4.6=14.6-4.6+7.8=17.81/21/2 1/2 1/2=1/4 1/4=1100+2-100+2=102-102=03/7+4/7 5/6=1 5/6=6/512(3+4)=12 3+12 4=4+3=7,一.请您把平时学生容易出错的简算题写下来，并分析出错的原因。二.请把您平时积累的宝贵的简算经验写下来和大家一起分享。谢谢您的合作！,经验交流,二.分数应用题,一、抓住两种意义的教学，为学习分数应用题扫清思维障碍。“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个数乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。因此，要让学生切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题教学的关键所在。（一）强化分数意义：例：说出下面每句话中分数表示的意义 1、五（1）班男生人数占全班人数的3/5。（3/5表示把全班人数看做单位“1”，把它平均分成5份，其中的3 份是男生。）2、实际比计划超产1/4。（1/4表示把计划产量看做单位“1”，把单位“1”平均分成4份，超产的是这样的1份。）3、一台电视机降价1/5。（1/5表示把电视机原价看做单位“1”，把它平均分成5份，降低的价钱占其中的1份。）4、一节数学课用了2/3小时（2/3表示把1小时看成单位“1”，把他平均分成3份，一节数学课用了这样的2份。）,（二）强化分数乘法意义：学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。1、沟通整数乘法意义与分数乘法意义的联系：先由整数例子过渡到分数 这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的，使学生感到新知不新，增强了学习的信心，也完成了整数乘法的意义向分数乘法意义的过渡。2、加强分数乘法意义的训练：说出算式表示的意义 301/4（表示30的1/4是多少。）6米3/5（表示6米的3/5是多少米。）A5/6（表示A的5/6是多少。）根据意义说算式 60的2/3 5/8的3/4 8/5米的1/4 B的1/9学生说意义，以“说”促“思”为教学分数乘除法应用题打下坚实的第一步。,二、抓住找等量关系的训练，培养学生思维的有序性。1、细审分率句，明确单位“1”。根据分数的意义，学生能够清楚地对所给的分率句作出分析，确定单位“1”。确定单位“1”的方法（1）“的分率”前面的量是单位“1”如：六(3)班男生人数是 全班的3/5（2）“比”后面的量是单位“1”如：六(3)班男生人数比女生多1/2 2、画批。把分率句中的单位“1”用“=”标出，对应的数量用“”，重点字词用着重点标出。3、画线段图 指导学生画线段图分三步：（1）画出单位“1”的量，标出单位“1”，根据分率的分母把它平均分成若干份。（2）画出对应的量和与之对应的分率，并标出。（3）标出问题。,4、找、写等量关系。（1）寻找单位“1”的训练（2）寻找分率对应量的训练（3）训练写等量关系式：三、变换单位“1”的训练，培养学生思维的灵活性。四、运用联想的策略，培养学生思维的深刻性。总之，通过以上一系列的训练，学生们对解答分数应用题作好了充分的准备，掌握了对分率句的分析思维方法，在解答应用题时，根据所给的条件问题就能有的放失地解决问题。还能够通过联想找到有间接关系的等量关系，为学习较复杂的分数应用题打下了牢固的基础。向您请教：您是怎样教学下面题目的？请写出您的教学设计。一根长5米的绳子，平均剪成8段，每段是全长的（），每段长（）。,解方程,小学用算术思路解方程，到了中学却是用等式的基本性质或方程的同解原理来教学解方程，因此，小学的思路及其算法掌握得越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。为了避免“同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接”，在2001年颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中，改变了小学二十几年来一直用算术思路解方程的要求，而走了一条用代数方法解方程的路。它明确提出了“理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程,因为学生尚未学习负数的运算和分式方程的有关知识，因此ax=b和ax=b类的方程不适合在小学阶段学习，故而教材将它们回避掉了。然而，对于ax=b和ax=b，低年级学生就已经会解决，如一年级学生就会做7（）4。可学到了五年级，我们却认为学生是不会做的。但是在很多练习和测试当中又不乏此类题目。其次，列方程解决现实问题时，x当作减数、当作除数，应当是很常见也很必要的现象。这让我们老师很是困惑。为了应试，我们不得不教给学生算术法解方程，让学生去记忆四则运算的关系式。,在教学中，我们可以通过对比两种方法，使学生发现两种方法之间的内在联系，从而实现对算术思想解方程的更深认知。如教学x420，学生自己做出了x204，教师又引导学生理解了x44204。之后，教师要有意识地作沟通：你们觉得两种方法有什么相同之处吗？学生会发现，两种方法都有204。学生还会发现，实际上x44204，44抵消了，就剩下x204，这也就变成了第一种方法。此时，学生马上就会意识到，实际上两种方法有“异曲同工”之妙。在其它几类方程教学中，我们也都可以这样去沟通。这样的做法，不仅使学生沟通了数学知识，感受到了算术和代数的紧密联系，体会到了数学之美。同时，还有效地借助代数思路，强化了学生对算术思路解方程的认知，帮助学生克服了解方程要死记硬背公式的难关。比如说，最常见的错误x420转化成x204，有了上述沟通，学生就会很好地避免。,解方程的几种方法,括号内有未知数的展开括号能先算的要先算尽量化除为乘能合并的要合并利用等式的性质1把方程变成ax=b的形式利用等式的性质2两边同除以a即可求出x的值,x+4=101/4x-3=08x-6x=6/73x 3/4=91/3(x-2)-5/6=41.3x+2.43=12.4x+3/4 8/9=111/3(x-2)-1/4x=4,括号内有未知数的展开括号能先算的要先算尽量化除为乘能合并的要合并利用等式的性质1把方程变成ax=b的形式利用等式的性质2两边同除以a即可求出x的值,一、数形结合法【点拨】“数形结合”可以促进学生形象思维和抽象思维的协同发展，是一种很好的解决问题的策略。数形结合通常采用画图的方法用直观的图形表示数量之间的关系。例1.小明看一本书，第一周读了它的2/3，的二周读了余下的2/5，第三周读完。已知第三周比第二周多读了40页，这本书有多少页？【分析与解答】用线段图不好表示，可以用长方形图表示。,第二周读余下的2/5,第三周读余下的3/5,第一周读全书的2/3,观察图形可知：40页占余下的（3/5-2/3）=1/5，所以余下的页数是40 1/5=200（页）总页数就是：200（1-2/3）=600（页）,算术法解分数应用题,【点拨】解决分数问题，关键是找准单位“1”，找准分率和数量之间的对应关系。在线段图上，当数量和分率用同一线段表示时，这个数量和分率就叫做对应分率。例2、晓东看一本书，第一天看了全书的1/6，第二天看了全书的1/3，还剩78页没有看，全书一共多少页？【分析与解答】,共多少页？,1/6,1/3,剩78页没看,从图可以清楚看出78页所对应得分率是（1-1/6-1/3），我们就可以列式为 78（1-1/6-1/3）。三、列表法 把题目中的条件简要的摘录下来，列表分别整理，使学生对条件之间的关系看得更直观。例3、机床厂今年生产机床500台，比去年增产100台，增产百分之几？,【分析与解答】此类题目表面看很简单，但是学生出错较多我们就采取列表法做题。本题涉及到三个量:去年生的数量、今年生产的数量、今年比去年增产的数量。列表如下;,求增产了百分之几，就是求今年比去年增产的占去年的百分之几，关系式：增产的数量去年的产量=增产的百分率。然后从上表中找出对应的量就可以正确列式了。四、假设法有些应用题数量关系比较隐蔽，按一般的方法难以找到内在联系。但是通过假定某个条件成立，往往可以找到解题的途径。例4学校有足球和篮球共105个，已知足球个数的3/8与篮球个数的4/7的和为49个，学校足球和篮球各有多少个？【分析和解答】我们可以假设足球和篮球都拿了4/7，那么一共是105x4/7=60(个），比49 多了60-49=11（个）为什么多了哪？是因为多算了足球的4/7-3/8=11/56,11的对应分率就是11/56，那么足球的个数就是：11 11/56=56（个）。,五、转化法 1、转化数据 例5、一堆水泥，上午运走它的2/7，下午运走它的3/7多4吨，还剩16吨。这堆水泥原有多少吨？【分析与解答】把“下午运走它的3/7还多4吨”转化为“下午运走它的3/7”，”那么还剩16吨“就变成了”还剩16+4=20（吨）”。这样通过画线段图就可以清楚地看出20吨的对应分率是（1-2/7-3/7）再求总量就很简单了。2、转化情节例6、一条水渠，甲乙两队合修，10天修完，如果甲队先修4天，乙队接着修6天，则完成这条水渠的7/15.如果乙队单独修这条水渠，需要几天完成？【分析与解答】只要把“甲队修4天，乙队接着修6天”转化成“甲乙合修4天，乙队又修了6-4=2（天）问题就好解决了。乙队的功效是（7/15-4/10）2=1/30，乙队单独修的天数是：1 1/30=30（天）3、转化单位“1”例7、小明看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了余下的40%，第二天比第一天多看了15页，全书共多少页？【分析与解答】第一天看了全书的25%，是把全书的页数看为单位。第二天看了余 下的40%是把余下的看为单位一。两个单位一不同，我们就要把看了余下的40%转化成看了全书的百分之几，先用1-25%=75%算出还剩下全书的75%，再用全书的75%乘 以40%，得到第二天看了全书的30%。第二天比第一天多看了15页，找出15占全书的百分率，从而求出全书有多少页。,列式：15（1-25%）X40%-25%=300（页）。六、逆推法 例8、有一堆煤第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨，还剩25吨.这堆煤原来多少吨？【分析与解答】,原来的吨数,一堆的一半,余下的一半,10吨,3吨,第一次运走的,第二次运走的,剩下的25吨,从图中可以看出，余下的一半是：25-3（吨）。所以，余下的煤是：22x2=44（吨）。全堆煤的一半是：44+10=54（吨）。则，原来这吨煤是：54X2=108（吨）。,老师们辛苦了！,谢谢合作,谢谢指导,2011年8月,