对称矩阵与二次型.ppt

对称矩阵及其性质,一个对称矩阵是一个满足AT=A的矩阵A，这种矩阵当然是方阵，它的主对角线元素是任意的，但其他元素在主对角线的两边成对出现,定理1、实对称矩阵的特征值都是实数.,定理2、实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的.,证 假定A是实对称矩阵从是它的特征值，x是属于的特征向量，,定理3、一个nxn矩阵A可正交对角化的充分必要条件是A是对称矩阵.,矩阵A的特征值的集合有时称为A的谱定理4(对称矩阵的谱定理)一个对称的nxn矩阵具有下面特性:A有n个实特征值，包含重复的特征值.对每一个特征值，代数重数等于几何重数.特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应不同特征值的意义下成立的.A可正交时角化.,二次型,R”上的一个二次型是一个定义在Rn上的函数，它在向量x处的值可由表达式Q(x)=xT Ax计算，此处A是一个nxn对称矩阵，且矩阵A称为关于二次型的矩阵,二次型的变量代换可以将二次型代数表达式中的交叉项消去，从而简化表示,定义一个二次型Q是:a.正定的，如果对所有x0，有Q(x)0 b.负定的，如果对所有x 0，有Q(x)0 c.不定的，如果对所有x0，Q(x)既有正值又有负值.,二次型的分类,定理 2(二次型与特征值)设A是nn对称矩阵，那么一个二次型是正定的当且仅当A的所有特征值是正数;负定的 当且仅当A的所有特征值是负数;不定的，当且仅当A既有正特征值，又有负特征值.,二次型的条件优化,考虑二次型Q(X)=XTAX在单位球面上的最大和最小值问题,奇异值分解,奇异值分解,奇异值分解算法简介,奇异值分解的应用,1、用来获得特殊子空间的正交基，任意矩阵的秩等于其非零奇异值的个数,奇异值分解的简化和A的伪逆及其应用,2、在数据处理中的应用,观测矩阵是指以观测对象的属性为行以观测次数为列所形成的矩阵，例如下例是n个学生身高和体重两个属性的观测矩阵,遥感卫星图像处理,这样的协方差矩阵S反映p个属性之间的关联关系,主成分分析,图像处理实例分析,