对数与对数函数.ppt

要点梳理1.对数的概念（1）对数的定义 如果ax=N(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作，其中_叫做对数的底数,_ 叫做真数.,2.7 对数与对数函数,基础知识 自主学习,a,N,x=logaN,（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质=_;logaaN=_(a0且a1).,e,ln N,lg N,logaN,10,N,N,（2）对数的重要公式 换底公式:(a,b均大于零且不等 于1)；推广logablogbclogcd=_.,logad,(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)=_;=_;logaMn=_(nR);,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.对数函数的图象与性质,R,(0,+),(1,0),y0,y0,y0,y0,1,0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数y=ax与对数函数_互为反函数，它 们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,基础自测1.（2009湖南理）若log2a1,b0 B.a1,b0 D.0a1,b0 解析 log2a0=log21,0a1.b0.,D,2.已知log7log3(log2x)=0，那么 等于（）A.B.C.D.解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3,x=8,C,3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是（）A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 a=0.32(0,1),b=log20.30,c=20.3(1,+),bac.,D,4.设a1，函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值 与最小值之差为 则a等于（）A.B.2 C.D.4 解析 根据已知条件loga2a-logaa=整理得：loga2=则 即a=4.,D,5.函数 的定义域是_.解析 要使 有意义 需使 03x-21,即 x1,的定义域为,题型一 对数的化简与求值【例1】(1)化简:(2)化简:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.(1)、（2）为化简题目，可由原式联 想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻 找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式 来求a2m+n的值.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解(1)原式=(2)(3)方法一 loga2=m,am=2.loga3=n,an=3.故a2m+n=(am)2an=43=12.方法二 loga2=m,loga3=n,（1）在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.,探究提高,知能迁移1(1)化简(log43+log83)(log32+log92)=_.解析,(2)已知3a=5b=A,且 则A的值是（）A.15 B.C.D.225 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A,=logA3+logA5=logA15=2,A2=15,A=或A=（舍）.,B,题型二 比较大小【例2】(2009全国理,7)设a=log2,则（）A.abc B.acb C.bac D.bca(1)引入中间量如“1”或“”比较.(2)利用对数函数的图象及单调性.解析 a=log21,ab,ac.bc,abc.,思维启迪,A,探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;若底数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.,知能迁移2 比较下列各组数的大小.(1)(2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知 比较2b,2a,2c的大 小关系.解（1）log51=0,(2)方法一 0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数，2b2a2c.,题型三 对数函数的性质【例3】已知函数f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.当x3，+)时，必有|f(x)|1成 立,可以理解为函数|f(x)|在区间3，+)上的最 小值不小于1.解 当a1时，对于任意x3，+),都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+)上为增函数，对于任意x3，+),有f(x)loga3.,思维启迪,因此,要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立.只要loga31=logaa即可，1a3.当0a1时，对于x3，+),有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f（x）=logax在3，+)上为减函数，-f（x）在3，+)上为增函数.对于任意x3，+)都有|f(x)|=-f(x)-loga3.因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立,只要-loga31成立即可，,综上,使|f(x)|1对任意x3，+)都成立的a的取值范围是(1，3，1).本题属于函数恒成立问题，即在x3，+)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.,探究提高,知能迁移3(1)设f(x)=是奇函数，则使 f(x)0的x的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-,0)D.(-,0)(1,+)解析 f（x）为奇函数，f（0）=0.解之，得a=-1.f(x)=令f(x)0，则 x(-1，0).,A,(2)已知f(x)=loga(3-a)x-a是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)(1,3)D.(3,+)解析 记u=(3-a)x-a,当13时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意.故选B.,B,题型四 对数函数的综合应用【例4】(12分)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线 与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明三点在同一条直线上只需证明 kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2,代入解析式即可求解.,思维启迪,（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,解题示范,2分,4分,（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得 代入x2log8x1=x1log8x2,得 由于x11,知log8x10,故 又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法,突出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想.,探究提高,OD的斜率为k2=由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.,6分,8分,12分,知能迁移4 已知函数 是奇函数(a0,a1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明.解（1）f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，1-m2x2=1-x2恒成立，m=-1或m=1（舍去），m=-1.,（2）由（1）得(a0,a1),任取x1,x2(1,+).设x11,x21,x10,x2-10,x2-x10.,t(x1)t(x2),即 当a1时，f(x)在（1,+）上是减函数；当0a1时，f(x)在（1,+)上是增函数.,思想方法 感悟提高1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形 式的互化是对数运算法则的关键.2.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nN*,且 n为偶数).3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 在解题中的灵活应用.,方法与技巧,4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,且a1)互 为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它 们之间的联系与区别.1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公 式，对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为 对数的和、差、积.,失误与防范,2.指数函数y=ax(a0，且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性 质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要 掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函 数和对数函数的图象.,一、选择题1.（2009湖南文，1）的值为（）A.B.C.D.解析,定时检测,D,2.函数 的反函数是（）A.B.C.D.解析 x1,0 x-1x.,A,3.(2009辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x4时，当x4,故f(3+log23)=,A,4.已知02 解析 m=logaxy,0logaa2=2.,D,5.若函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)且当x1，3时，f(x)=|x-2|,则方程f(x)=log5x的实根的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由已知得f(x)是以2为最小正周期的函数，又x1,3时,f(x)=|x-2|,所以其图象如下图所示.由于log55=1,且y=log5x是增函数,所以f(x)的图象与 y=log5x的图象有且仅有4个不同交点，也就是方程 f(x)=log5x有4个不同实根.,D,6.函数y=loga|x+b|(a0,a1,ab=1)的图象只可能 是（）解析 由a0,ab=1可知b0,又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称，对称轴x1,且0a1,由单调性可知，B正确.,B,二、填空题7.(2009江苏，11)已知集合A=x|log2x2,B=(-,a),若A B,则实数a的取值范围是(c,+),其中c=_.解析 log2x2,04,c=4.8.计算 log525=_.解析 原式=(-4)1+log552=-4+2=-2.,4,-2,9.已知0n.,mn,三、解答题10.将下列各数按从大到小的顺序排列:log89,log79,解 在同一坐标系内作出y=log8x,y=log7x，y=log2x的图象如图 所示,当x=9时,由图象知 log29log79log891=log88,log229log79log891,即 log79log891.在R上是减函数,11.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当xM时，求f(x)=2x+2-34x的最值及相应的x的值.解 y=lg（3-4x+x2）,3-4x+x20,解得x3，M=x|x3，f（x）=2x+2-34x=42x-3(2x)2.令2x=t,x3,t8或08或0t2).,由二次函数性质可知:当08时,f(x)(-,-160),当2x=t=即 综上可知:当 时,f(x)取到最大值为 无最小值.,12.已知f(x)=loga(ax-1)(a0且a1).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性.解（1）由ax-10得ax1，当a1时，x0;当01时，f(x)的定义域为（0，+）；当0a1时，f(x)的定义域为（-，0）.,（2）当a1时，设01时，f(x)在（0,+）上是增函数.同理，当0a1时，f(x)在（-，0）上为增函数.,返回,