学案1不等式的概念与性质.ppt
进 入,学案1 不等式的概念与性质,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.不等式的基本性质对于任意的实数a,b,有a-b0;a-b=0;a-bb,bc.(2)ab,cd.(3)ab,c0.(4)ab,c0.,ab,a=b,ab,ac,a+cb+d,acbc,acbc,(5)ab0,cd0.(6)ab0,nR+.双向性：(1)ab.(2)ab,cR.3.算术平均数与几何平均数（1）如果a1,a2,anR+,且n1，nN*,那么 叫做这n个正数的，叫做这n个正数的.（2）定理如果a,bR，那么a2+b2（当且仅当 时取“=”号）.推论如果a,b是正数，那么（当且仅 当 时取“=”号）.,acbd,anbn,ba,a+cb+c,算术平均数,几何平均数,2ab,a=b,a=b,返回目录,考点一 不等式的基本性质,【例1】对于实数a,b,c，判断下列命题的真假.（1）若ab，则acbc;（2）若ab，则ac2bc2;（3）若aabb2;（4）若ab0,则;（5）若ab0,则.,返回目录,【分析】利用不等式的基本性质进行判断，要说明正确需要证明，要说明不正确只要举反例，但作为基本题可用特例验证.,【解析】（1）因为未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题.（2）因为c20，所以只有c0时才正确.c=0时，ac2=bc2，所以是假命题.变式：若ac2bc2，则ab，命题是真命题.（3）aab;ab2，命题是真命题.,返回目录,【评析】不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式.,返回目录,对应演练,适当增加不等式条件使下列命题成立:(1)若ab,则acbc;(2)若ac2bc2,则a2b2;(3)若ab,则lg(a+1)lg(b+1);(4)若ab,cd,则.,返回目录,（1）原命题改为：若ab且c0,则acbc,即增加条件“c0”.（2）由ac2bc2可得ab,但只有b0时，才有a2b2,即增加条件“b0”.（3）由ab,可得a+1b+1，但作为真数，应有b+10,故应增加条件“b-1”.（4）成立的条件有多种（如ab0,cd0）,与定理4推论1相关的一个是ab0,cd0,因此，可 增加条件“b0,d0”.,返回目录,考点二 利用均值不等式证明不等式,【例2】设a，b，c都是正数，求证：,【分析】将左边变为把每组连用两次均值定理，相加.,返回目录,【评析】运用均值不等式证明不等式时，不等式所具备的结构特征是“和”与“积”的关系，项数特征是一边项数为另一边项数的二倍关系，如该例中左边可分为6项，右边3项.,【证明】a,b,c都是正数，同理可证,三式相加得 当a=b=c时取等号.,返回目录,返回目录,证明：a0,b0，.a b,又a2+b22ab,2(a2+b2)2ab+a2+b2=(a+b)2,.又0cos cos cos.,返回目录,考点三 利用均值不等式求最值,【例3】（1）已知x0,y0，且=1，求x+y的最 小 值;（3）已知a,b为实常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值.,返回目录,【分析】（1）因为4x-50，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)不是常数，所以对4x-2要进行拆（添）项“配凑”.（2）本题的困难在于如何使用条件，如果从中解出x或y，再代入x+y转化为一元函数的最值问题，显然是比较复杂的，这时，我们可设法整体地使用条件.（3）从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者去完成）.但若注意到(x-a)+(b-x)为定值，则用变形不等式 更简捷.,返回目录,【解析】（1）x0,y=4x-2+=-（5-4x+）+3-2+3=1.当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立.故当x=1时，ymax=1.,返回目录,（2）解法一：x0,y0,且，x+y=（）(x+y)=+106+10=16,当且仅当，又,即x=4，y=12时，上式等号成立.故当x=4,y=12时，(x+y)min=16.解法二：由，得(x-1)(y-9)=9(定值)，又知x1,y9，当且仅当x-1=y-9=3，即x=4,y=12时，(x+y)min=16.,返回目录,【评析】在应用均值不等式求最值时，要保证条件都满足，即做到“一正，二定，三相等”.,（3）y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2当且仅当x-a=b-x，即x=时，上式等号成立.当x=时,ymin=.,返回目录,C,返回目录,返回目录,1.不等式的性质是解(证)不等式的基础,对于不等式的性质,关键是正确理解和运用,要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件的加强或减弱,条件与结论之间的相互联系.2.不等式的性质应用于证明不等式,往往是从条件推出结论的变换关系,而解不等式则要求等价变形.3.判定不等式是否成立,常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特殊值等方法.4.应用均值不等式时熟练掌握定理成立的条件、重要不等式的变形，在运用重要不等式证明不等式或求 最 值时，注意掌握“凑”（凑项、凑因式）的技巧，其目的一是 创造一个应用重要不等式的情境；二是使等号成立的条件.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
