大学高等数学ppt课件第六章3逆矩阵与分块矩阵.ppt

逆矩阵与分块矩阵,逆矩阵,引言,对于数的运算，如果对于数，存在数，使得，则称数 为数 的倒数，记作。,从而有,对于矩阵运算，是否有相似之处呢？,逆矩阵的概念,设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵B为方阵A的逆矩阵，记作B=A-1.逆矩阵也称为非奇异矩阵。,例如：,所以,当然,逆矩阵存在的充分必要条件,性质,2、逆矩阵存在的充分必要条件,方阵A可逆,且,推论：如果A是n阶方阵，则,推论：如果A可逆，则,注意足标的变化,1、方阵 的伴随矩阵,为元素 的 代数余子式,例1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵,解 因为,所以矩阵A可逆,所以,（2）因为,所以，矩阵B不可逆,例2 用逆矩阵求解线性方程组,解 将方程组改写成矩阵形式，得,因为,因而有,所以，系数矩阵A可逆,解 记原矩阵方程为 AXB=C，因为,所以，矩阵 A、B 都可逆,在原方程两边同时左乘 A-1，右乘 B-1，得,例3 求解矩阵方程,逆矩阵的性质,1、逆矩阵是唯一存在的。,3、若A可逆，则A-1也可逆，且.,4、若A可逆，数，则,5、若A、B为同阶可逆矩阵，则,6、若A可逆，则,7、,（此性质可将定义简化）,解,例4 设三阶方阵A的伴随矩阵为，且，求,分块矩阵,分块矩阵的概念,用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。,例如,则A可记作,称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。,如：,则不是分块矩阵。,分块矩阵,分块矩阵的加减运算,设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得,则,注意：A i j与B i j同型,分块矩阵的数乘及转置,设将A分块得,则,记作,列分块,分块矩阵的转置运算子块当作元素转置后子块本身,再转置。如,先把子块当作元素运算，然后子块再运算。,只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。,分块矩阵的乘法运算,设A、B矩阵分块得,则,其中,注意：A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数,例题：设,将A、B适当分块，计算AB,解 将A、B作如下分块：在一、二行之间插入横线，在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则,则,而,所以,1、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按 矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。,2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘 时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还 须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行 数。,小结：,分块对角矩阵,如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为分块对角矩阵。,其中A i i 为方阵子块，其余子块均为零子块,分块对角矩阵的性质,（1）,（2）若A可逆，则,分块对角矩阵,其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如,（方阵）,是,不是,例题,解 将A分块：一、二行，三、四行之间各插入横线，在一、二列，三、四列之间各插入竖线，则,其中,所以,再见！,