大学空间向量解析几何.ppt

,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,三、实例分析,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,3.参数式方程,设,得参数式方程:,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线 L1,L2 的方向向量分别为,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),特别有:,例2.求以下两直线的夹角,解:直线L1的方向向量为,直线L2的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,从而,当直线与平面垂直时,规定其夹角为,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,3.相关的几个问题,(1)过直线,的平面束,方程,到直线,的距离,为,(2)点,三、实例分析,例1.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线,提示:所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点(3,2,5)的直线方程.,例2.求直线,与平面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,例3.求过点(2,1,3)且与直线,垂直相交的直线方程.,提示:先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程,代入 式,可得交点,最后利用点向式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,例4.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择 使其与已知平面垂直,得,这是投影平面,即,从而得投影直线方程,故应有：,这是给定的平面,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,作业 习题六 1，2，3，7,