多元函数的微分学.ppt
第五章 多元函数的微分学,5.1 多元函数的基本概念,5.2 多元函数的偏导数,5.3 多元函数的全微分,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,5.5 多元函数的极限,5.6 多元函数微分法在经济上的应用,5.1 多元函数的基本概念,一、平面点集,例1:,例2:,y,x,o,x,-r,r,r,例3:,y,-r,o,二、邻域,内点:,外点:,界点:,开集:,开区域:,注意：开集不一定是开区域,y,x,o,o,o,o,闭区域:,区域:,有界区域与无界区域,二、空间解析几何简介,1.空间直角坐标系O-XYZ(右手法则),坐标轴:,坐标原点:,坐标平面:,卦限:八个卦限,空间内的点,问题：空间任一点的坐标如何确定呢？,4、空间曲面与曲面方程,(3)特殊平面的方程,(4)球面方程,问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）,(5)柱面方程,三、多元函数的极限与连续,1、多元函数的定义,定义1:,定义域的求法,例1:,解:,yy,yy,y,x,oo,oo,o,o,o,0,0,0o,O o0o,o,对应关系的求法,例2:,解:,二元函数的几何意义,2.二元函数的极限,例1.,二元函数的连续性,定义3,若,例如，,间断点为：,在有界闭区域上二元连续函数具有性质：,性质（最大值和最小值定理）,在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值,性质（介值定理）,结论,二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数,二元连续函数的复合函数仍为连续函数,例4,5.2 多元函数的偏导数,定义1,当固定,存在，,记作:,或,若极限,在点,处对,的偏导数定义为:,类似,函数,也记作,结论,视 y 为常量，对 x 求导.,视 x 为常量，对 y 求导.,记作,记作:,说明,同理可定义多元函数的偏导数,二元函数偏导数的几何意义:,是一元函数,在点,处的导数,由一元函数导数的几何意义知,在几何上表示空间曲线,类似,在几何上表示空间曲线,二、偏导数的计算,解,解,解,解,例5.已知,求:,解:,例6.求函数,在原点处的偏导数.,解,二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续.,不存在,二、高阶偏导数,若这两个函数的偏导数存在，,类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.,解,再求,证,证,由自变量的对称性知,定理1,练一练,解答,5.3 多元函数的全微分,一、全微分的定义与计算,函数相应的全增量,若全增量可表示为:,定义1,即,记作,若函数,在区域D内各点处都可微,则称函数在D内可微.,定理1,且,证,由,特别,同理可证,类似于一元函数,记,或,注意,例,解,函数,在原点的全增量,因为,函数,在原点的全微分,而,且,不存在,所以 由定义知函数在原点不可微.,定理2(充分条件),且,若函数,在点 可微,则,解,例1.求函数,在点(2,1)处当,时的全微分和全增量.,例2.求下列函数的全微分:,解(1).,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,一、多元复合函数的求导法则,且,定理1,则复合函数,连锁法则,解,例2.设,解:,例,则复合函数,连锁法则,m,且,全导数,推论1.,函数,全导数,推论2.,以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.,说明,解,解,解:设,因此,例6.,解：,设,例7.,解:,而,于是,也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数,解,令,则,一阶全微分形式不变性,则,则仍有,例,解,所以,二、隐函数求导法则,同理,解 法1,法2 两边关于x求导,两边关于y求导,方法三:方程两边求微分,解：法1,法2 两边关于x求导,解,解,又由两边对求导得,所以,又由两边对求导得,5.5 多元函数的极值,一.极值的概念,定义1,对于该邻域内任一点,若恒有不等式,则称该函数在点 P 处有极大值,则称该函数在点P 处有极小值,极大值与极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2(必要条件),存在,并取得极值,则,则,特别地,取,有,在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理,考虑一元函数,定理2(充分条件),令,(1).若,有极值,(2).若,无极值.,(3).若,情况不定.,时有极大值,时有极小值,且,(1)中的A换为C结论不变,例1.求函数,的极值.,解:,得驻点:,有极小值,无极值.,无极值.,有极大值,最大值、最小值,对于该区域内任一点,若恒有不等式,则称 为函数在 D内的最大值,则称 为函数在 D内的最小值,最大值与最小值统称为最值.,如,函数,在点,处取得最小值0,在点,处取得最大值2.,使函数取得最值的点称为最值点.,最大值、最小值的求法,最值点只可能是以下三种类型的点：,（1）边界点,求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值,（2）驻点,（3）偏导数不存在的点,根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点(极值点)，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值,解:设长、宽、高分别为,则,造价,解得,，,二、条件极值 拉格朗日乘数法,拉格郎日乘数法：,（1).构造拉格朗日函数:,为常数),(2).联立,解得,(3).再讨论.,(根据实际问题的实际意义可以判断.),（1).构造拉格朗日函数:,为常数),(2).联立,解得,令,联立,解得,5.6多元函数微分法在经济上的应用(经济决策的最值问题举例),再由,练习讲解,解：,设,
