复数与复变函数习题课.ppt

,2,一、重点与难点,重点：,难点：,1.复数运算和各种表示法,2.复变函数以及映射的概念,1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2.映射的概念,3,二、内容提要,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线与区域,判别定理,极限的计算,4,1.复数的概念,5,2.复数的代数运算,6,4)共轭复数,7,3.复数的其它表示法,8,（2）向量表示法,复数的模(或绝对值),9,模的性质,三角不等式,复数的辐角,10,辐角的主值,11,（3）三角表示法,12,4.复数的乘幂与方根,1)乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,13,几何意义,14,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,则有,15,2)幂与根,(a)n次幂:,16,(b)棣莫佛公式,17,18,球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,复球面的定义,19,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,(2)扩充复平面的定义,20,6.曲线与区域,（1）邻域,（2）内点,21,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.,(4)区域,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(a)D是一个开集；,(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,(3)开集,22,(5)边界点、边界,设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D,但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.,(7)有界区域和无界区域,D的所有边界点组成D的边界.,23,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).,(8)简单曲线,24,(9)光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,简单闭曲线的性质,25,(10)单连通域与多连通域,26,7.复变函数的概念,(1)复变函数的定义,27,(2)映射的定义,28,函数极限的定义,注意:,8.复变函数的极限,29,极限计算的定理,30,与实变函数的极限运算法则类似.,极限运算法则,31,（1）连续的定义,9.复变函数的连续性,32,连续的充要条件,连续的性质,33,特殊的:,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,