复数与复变函数.ppt

复变函数与积分变换,北京交通大学理学院北京 2011.9,北京交通大学本科生工程数学电子教案,课程名称,复变函数与积分变换,教 材,工程数学-复变函数(第四版),西安交通大学高等数学教研室 编,总 学 时,32学时,教师姓名,黄晓鸣,课 程 简 介,研究对象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,第一章复数与复变函数,1.复数的概念 2.代数运算 3.共轭复数,1.1 复数及其代数运算,一般,任意两个复数不能比较大小。,1.复数的概念,判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2.代数运算,四则运算,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义 若z=x+iy,称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),1.点的表示 2.向量表示法 3.三角表示法 4.指数表示法,1.2 复数的表示方法,1.点的表示,数z与点z同义.,无穷远点怎么表示？,扩充复平面：,复球面：,x,P,N,S,扩充复平面上的无穷远点 与复球面上的北极对应！,2.向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以向量 为终边的角的弧度数称为复数 z=x+iy 的辐角(z0时).,辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定。,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加。,当z落于第三象限时，减。,请注意复数的幅角主值的计算！,由向量表示法知,3.三角表示法,4.指数表示法,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例1 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）,例2 方程 表示 什么图形？,解,注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.,1.复数的乘积与商 2.复数的乘幂 3.复数的方根,1.3 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2),1.乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,定理1可推广到n 个复数的乘积。,要使上式成立，必须且只需 k=m+n+1。,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,证明,Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2/z1，即 z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（z10）,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i，求所有的满足n=z 的 复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,1.区域的概念 2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域,1.4 区 域,1.区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆|z-z 0|(或 0|z z 0|)内部的点的集合称为点 z 0 的（去心）邻域。记为(z0,)即，,设G是一平面上点集,连通是指,D-区域,2.简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：z=z(t)，atb,3.单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如|z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的。,多连通域,单连通域,作 业,Page 31-33 1（）（）；2；4（1）（3）；8（）（）（）；14（）（）；19；21（）（）（）；22（）（）（）；,1.复变函数的定义 2.映射的概念 3.反函数或逆映射,5 复变函数,1.复变函数的定义,与实变函数定义相类似,例1,例2,在几何上，w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2.映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3.反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w=z3，求区域 在平面w上的象。,例,1.函数的极限 2.运算性质 3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,1.函数的极限,几何意义:当变点 z 一旦进入 z0 的充分小去心邻域时,它的象点 f(z)就落入A的一个预先给定的 邻域中,(1)意义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2)A是复数.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3)若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,作 业,Page 33-34 24；25（2）（4）（6）；26（）（）；30；32；,