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基础物理中的数学方法,第一章 初等函数的极限和微分1.1 初等函数,数理难以分家，是一棵苗上的两瓣叶片。数学课不仅仅是工具课，是科学思维训练。学习物理需要数学工具，此处只解决工具问题。王竹溪、彭桓武、林家翘的榜样。,1.1.1 函数的概念在物理过程中，一些物理量之间有由物理规律决定的关系-函数。,例如：自由落体,高度随时间的变化,自变量t，因变量h,时间随高度的变化,自变量h，因变量t,多个自变量的函数叫做多元函数，例,一元函数,自变量为实数的函数叫实变函数；为复数的函数叫复变函数。,1.1.2 常用的初等函数,（1）幂函数,（a，n为常数）n 可为正、负、整、分数；,一般形式是多项式，上式只给出其中一项的函数式，幂函数的一种特殊形式是n=0的情况，即,（常数）,例如：交流电的电压为,在x轴上以原点为中心的简谐振动为,（2）三角函数和反三角函数,（3）以e为底的指数函数和对数函数,，,这些函数，以及其经过有限次四则运算与复合步骤所构成的函数，统称为初等函数。,1.1.3 欧拉恒等式,借助复数来简化运算过程,，,（常数）,复数z可以用两个实数a和b来表示,z的共轭复数记作z*,在平面直角坐标系中，又可表示为,：复数的模,：辐角,Z与z*的模相等，辐角的符号相反。,是模为1的复数。高等数学可以证明,这就是欧拉恒等式。由上两式解得,欧拉恒等式的另一种表示式。,欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，使三角函数的运算简化。,解 对 两边同时作立方运算得,将上式的指数函数用三角函数表示，并展开两边得,根据复数的运算规则，两复数相等必是实部和虚部分别相等，故有,例2 三角函数,试变换为三角函数和差的形式。,再将上式右边的指数用三角函数表示得,解 将三角函数用指数表示得,例1 导出正弦和余弦函数的三倍角公式。,欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系，也说明两种函数有相同的运算规则。由此想到，可依照欧拉公式定义一套广义的三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的定义是,此式与三角函数的基本公式,实际上，若以 jx 代替定义式中的 x 即得,1.1.4 双曲函数,由双曲函数的定义式知,相似，,还可以证明,三角函数，也可视为双曲函数的特例,1.2 极限,1.2.1 直观的极限概念和无穷小量,极限是重要的基本概念。由简单物理过程，得到某些直观印象。,考虑一个交流电路和波动中常用的函数,在x=0时，分子和分母都是零，这分式没有直观意义了。但可以研究,x由正值和负值向零无限趋近时，函数的特点。,作一半径为1的单位圆（图），,x是圆心角，,，,因,所以,因在,附近，,的符号相同，,得,或,将上述不等式除以,上式说明 y 在 x 趋于 0 的过程中保持不大于 1,但又不小于 cosx,但在x无限趋于零时，cosx无限趋近于1，故y必趋于1，,记为,在 x 趋近于零时,sinx 随之趋于零。在这种情况下x 和 sinx,是绝对值很小的变量，因而上面给出的分式也是有意义的。,这类变量的特点是：它的绝对值小于任何给定的正数，叫做无穷小量.,在自变量 x 与某一指定值 a 的差为无穷小量时，函数f(x)与数 A 的差也为无穷小量，则A是在x趋于a时的极限，记为,无穷小量就是以0为极限的变量,无穷小量的两个性质：（1）有限个无穷小量的和是无穷小量；（2）有界量与无穷小量的积是无穷小量。,有些初等函数求极限的运算，可依据对函数的理解和直观判断得到。例如,1.2.2 极限的运算规则,一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。常用的运算规则是：,，,一个有极限的函数与常数积的极限，等于该函数的极限与常数之积。,如若a为常数，则,有限个有极限的函数的积（商）的极限，等于它们极限的积（商）。,例1 求,解 由和差化积公式得,变为求两个极限的积。在上式中，第一个函数的极限已给出，故有,有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）。,例2 求,解:利用二项式公式得,例3 求,解：,在上面的两例中x也是一个独立的变量。但在求极限的过程中，只是,作趋于零的变化。因此，在作这种运算时，,x是视为不变的。,以上例题，都求两个无穷小量的比值的极限。这种极限可以理解为两个无穷小量大小的比。如果两个无穷小量之比是不为0的有界量，则这两个无穷小量是同阶的无穷小量。,sinx与x是同阶无穷小量。且因这两个无穷小量的,1.2.3 无穷小量的比较,例如在,比值的极限是1，可理解为在x趋于零时sinx与x趋于相等。,在例2中，涉及三个无穷小量的和，即：,第一项与,（无穷小量）之比为有界量，它是与,同阶的无穷小量。一阶无穷小量,第二项与,之比为,，这比值是以0为极限的无穷小量。,可以认为，当与,相比较时，,的相对值是无穷小量。,高阶无穷小量。,1.2.4 无穷大量,前面所说的函数有极限，是指函数趋向一个确定的有界量。若当自变量趋近一个指定值时，函数的绝对值大于任意给定的正数N，则这个变量（函数）叫做无穷大量或者说它趋于无穷大。,左极限和右极限,无穷大量与无穷小量互为倒数，也可用“阶次”来描述它的大小。,无穷小量的倒数是同阶的无穷大量；反之，无穷大量的倒数是同阶的无穷小量。,1.3 微商与微分,1.3.1 微商的概念,微商是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限，它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有密切的关系。以质点运动学为例，若一质点m在竖直的Y轴上作非匀速运动,它的位置坐标y是时间t的函数，可以表示为,作竖直的抛体运动时,若要问,时刻质点的速度是多少，只知道,时刻的坐标,时刻附近,时刻,是不够的，还必须知道在,时间内，质点经历的距离是,的位置坐标,和,之比可认为是表示在这段时间内的平均速度，,记为,与,的大小和符号有关,瞬时速度,是,时,的极限：,给定一个函数,，若与自变量在,点的改变量,相对应，函数值的改变量为,，则当,，比值,的极限就叫做这个函数在给定点x的微商，记为,或,即,求微商的运算叫做微分运算。,叫原函数；,在数学上，把,叫做导函数，简称导数,常用初等函数的导数公式有,1.3.2 微商的几何意义,即：微商,是曲线,在自变量为x处的切线的斜率。,抛物线的方程为,在自变量为,处切线的斜率为,dx叫做自变量的微分，dy叫做函数的微分。,在引进微分的概念后，可用符号dy/dx表示微商，这个符号也可简写为“Dy”，“D”叫做微分算符，即：,1.3.3 微分运算的基本规则,（1）复合函数的微分运算,复合函数的一般形式可表示为,，,定义中间变量,有函数,则有,y可视为以,或者说原函数是幂函数和正弦函数的组合-复合函数。,为自变量的幂函数，,复合函数的微商等于它对中间变量的微商与中间变量对自变量微商的积。,例1 求函数,解:令,，则,的微分,例2 求函数,的微分（a为常数）,解：令,，则,（2）线性组合函数的微分运算,设,为有限个常数，,则,例3 求函数,解 按运算规则逐项作微分运算得,的微商。,例4 求函数,解 这是两项复合函数的组合。第一项的中间变量为,第二项的中间变量为,按组合函数和复合函数的运算规则得,对x的微商。,（3）函数积的微分运算,若,则,证：设自变量的改变量为,，因变量的改变量为,，有,则,所以,例5 求函数,解 原函数是两个复合函数的积。按照函数积的运算规则及复合函数的运算规则得,的微商。,例6 求函数,解 原函数是两函数之商，定义中间变量,，则,即,是两个函数之积。按照运算规则,的微商。,