基本立体及其表面交线的投影.ppt

本章主要学习、理解立体的投影图，能够绘制立体的投影及表面交线。,第三章 基本立体及其表面交线的投影,本章学习目的,1.掌握平面立体和曲面立体的投影。2.掌握立体表面上的点和线的投影及作图。3.掌握平面立体的截交线。4.掌握回转体的截交线。5.掌握回转体的相贯线。6.掌握相贯线的特殊情况。,3.1平面立体的投影,3.4 回转体的截交线,3.5 回转体的相贯线,3.2 曲面立体的投影,3.3 平面立体的截交线,概述,平面立体,曲面立体,棱柱体,棱锥体,圆柱体,圆锥体,圆环体,圆球体,物体的组成,基本立体,表面,线,点,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环,平面+平面,曲面+平面,曲面+曲面,围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。,2)相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。,立体表面上的交线可分为两大类：,1)截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；,规定：可见的轮廓线画粗实线，不可见的轮廓线画细虚线。,3.1 平面立体的投影,平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合-由直线段组成的封闭图形。,平面立体侧表面的交线称为棱线。,平面立体基本知识：,若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。,若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。,一、棱柱的投影,将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到H、V、W三个投影。,再按规定方向，将H、W面展开到与V面重合的位置上，便得三棱柱的三个投影图。,三个投影图之间存在着下列投影规律：,1)投影图之间的度量关系 V投影与H投影沿OX轴方向的坐标相等；V投影与W投影沿OZ轴方向的坐标相等；H投影与W投影沿OY轴方向的坐标相等。,2)投影图之间的位置关系 H投影反映物体前、后和左、右的位置关系；V投影反映物体上、下和左、右的位置关系；W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。,投影规律适用于所有物体的投影,平面立体投影的可见性判别：,1)外形轮廓线都是可见的。,X,Z,O,YW,YH,a,c,b,a,c,b,2)外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。,3)若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均 可见，否则均不可见。,4)若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。,两不可见表面的交线为不可见。,a,c,b,a,c,b,由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距离无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，通常去掉投影轴。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。,例1.在三棱柱表面上有点K，已知点K的V投影k，求作它的另外两投影k、k。,分析：1）由于点K的V投影k是可见的，所以点K位于侧表面AA1BB1上；,A,B,C,A1,B1,C1,2）侧表面AA1BB1是铅垂面，其H投影积聚为直线段，所以点K的H投影k 必在该直线段上；,例1.在三棱柱表面上有点K，已知点K的V投影k，求作它的另外两投影k、k。,a,c,b,a,c,b,分析：3）根据点的投影规律，先求出点K的H投影k，然后由k、k求出其W投影k；,4）因侧表面AA1BB1的W投影为可见，故k也为可见。,A,B,C,A1,B1,C1,k,例2 在三棱柱表面上有点M，已知点M 的H 投影m，求作它的另外两投影m、m。,分析：1）由于点M的H投影m是可见的，所以点M位于顶面ABC内；,A,B,C,A1,B1,C1,2）顶面ABC为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，,可由点M的H投影m，利用点的投影规律，求出其V、W投影m、m。,二、棱锥,特点：棱锥各棱相交于锥顶。,分析：侧表面SAB及SBC为一般位置平面，侧表面SAC为侧垂面，底面ABC为水平面；三条棱线中SA和SC为一般位置直线，而SB为侧平线。,例3.在三棱锥表面上有点N，已知点N 的H 投影n，求作它的另外两投影n、n。,分析：1）由于点N的H投影n是不可见的，所以点N位于底面ABC内；,2）底面ABC为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，,可由点N的H投影n，利用点的投影规律，求出其V、W投影n、n。,d,例4.在三棱锥表面上有点K，已知点K 的V 投影k，求作K的另外两投影k、k。,分析：1）由于点K的V投影k为可见，所以点K在一般位置平面SAB内；,2）过点K作辅助直线SD，其V投影sd必通过k；,求出辅助线SD的H、W投影sd、sd，则点的H、W投影k、k必在sd、sd上。,辅助线法1,例4 在三棱锥表面上有点K，已知点K 的V 投影k，求作K的另外两投影k、k。,辅助线法2,2)求出EF的H、W投影ef、ef，则点K的H、W投影k、k必在ef、ef上。,1)通过点K作水平辅助线EFAB，则ef通过k且ab；,3.2 曲面立体的投影,本节介绍常见的回转曲面立体，简称回转体。,回转曲面由母线绕定轴线作回转运动生成。,直母线,直线回转面,圆柱面、圆锥面,曲母线,曲线回转面,圆球面、圆环面,轴线,母线,素线,母线在任何一个位置称为素线，素线有无穷多条，而母线只有一条。,一、圆柱,1.圆柱的投影,(1)圆柱体表面的组成：圆柱面+上底面+下底面。,(2)圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它平行的轴线OO1旋转形成的。,上底面,下底面,圆柱面,圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。,一、圆柱,1.圆柱的投影,(1)圆柱的组成：圆柱面+上底面+下底面。,(2)圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它平行的轴线OO1旋转形成的。,如一圆柱直立，则：1)上、下底面是水平面，在H面上投影反映底的实形；,在V、W上投影积聚为一直线；,2)圆柱的轴线垂直于H面，圆柱面在H面上投影积聚为圆周；,在V、W上投影收缩为一矩形线框。,圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。,(3)注意：,界限素线是回转曲面对投影面可见和不可见部分的分界线。,a,a1,b,b1,c,c1,d,d1,如AA1、BB1、CC1、DD1。,（4）圆柱的投影图,1）V、W面投影，必须用点画线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。,注意：,2.圆柱面上的点,p,（k）,p,d,例5.圆柱面上有两点P和K，已知其V投影p和k，求另外两投影p、p和k、k。,分析：1）由于p点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两投影p、p可直接求出。,2）点K须利用圆柱面有积聚性的H投影，先求出点K的H投影k，再求出k；,k,p,k,3）点K的可见性判别：由于点K位于圆柱面的前面右半部分，其W投影k不可见。,3.圆柱面上的曲线,求圆柱面上的曲线时，通常采用取点的方法。,求特殊点,求一般点,顺序连接,步骤：,回转体界限素线上的点,其它对作图有意义的点,（如椭圆长短轴的端点）,例6.已知圆柱表面上的曲线AE的V投影ae，试求其另外两投影。,分析：此圆柱面的轴线垂直于W面，故其W投影积聚为圆。曲线AE在圆柱面上，其上的点必然也在这个圆上。,作图步骤：,1）在ae上选取若干点，如a、b、c、d、e（其中A、C 为特殊点）；,2）利用积聚性，先求出各个点的W投影：a、b、c、d、e；,a,e,e,a,b,c,d,b,c,d,例6.已知圆柱表面上的曲线AE的V 投影ae，试求其另外两投影。,作图步骤：,3）由各点的V、W投影，求各个点的H投影：a、b、c、d、e；,4）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影；由于AC在圆柱表面之上半部，而CE在下半部，c是曲线H投影可见性的分界点(水平投影界限素线上的点)，故其H投影abc为可见，画粗实线，cde为不可见，画细虚线。,a,e,e,a,b,c,d,b,c,d,a,b,c,d,e,二、圆锥,1.圆锥的投影,(1)圆锥体表面的组成：圆锥面+底面（圆形）。,(2)圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线OO1旋转形成的。,圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点S。,底面,圆锥面,二、圆锥,1.圆锥的投影,(1)圆锥的组成：圆锥面+底面（圆形）。,(2)圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线OO1旋转形成的。,圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点S。,如一圆锥直立，则：1)底面是水平面，在H面上投影反映底的实形；,在V、W上投影积聚为一直线；,2)圆锥的轴线垂直于H面，圆锥面在H面上投影收缩为平面圆；,在V、W上投影收缩为一等腰三角形线框。,S,(3)注意：,界限素线是回转曲面对投影面可见和不可见部分的分界线。,a,b,c,d,如:SA、SB、SC、SD。,S,A,B,C,D,s,s,a,b,c,d,（4）圆锥的投影图,1）V、W面投影，必须用点画线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。,注意：,2.圆锥面上的点,m,（k）,m,d,例7.圆锥面上有两点M和K，已知其V投影m和k，求另外两投影m、m和k、k。,分析：1）由于m点位于圆锥面最左边界限素线上，其另外两投影m、m可直接求出。,2）点K 投影k 须用作辅助线的方法，过K 作SA(过k作sa)有积聚性的H投影，先求出点K的H 投影k，再求出k；,k,m,k,3）点K 的可见性判别：由于点K 位于圆锥面的前面右半部分，其W 投影k不可见。,a,s,s,a,（k）,s,k,s,s,求点K的投影k方法二作辅助圆的方法：,2）画纬线圆的水平投影；为实形圆，半径为R;,3）求k、k；由k向下引垂线与纬线圆交于点k，再由k及k求出k。,1）过k作水平线;过K作在锥面上作一水平辅助圆。该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。点K 的各投影必在纬线圆的同面投影上。,k,3.圆锥面上的曲线,求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。,求特殊点,求一般点,顺序连接,步骤：,回转体界限素线上的点,其它对作图有意义的点,（如椭圆长短轴的端点）,例8.已知圆锥表面上的曲线AE的V投影ae，试求其另外两投影。,分析：此圆锥面的轴线垂直于H 面，故其H 投影积聚为圆。曲线AE在圆锥面上，其上的点可通过作辅助线或辅助圆的方法求得。,1）在ae上选取若干点，其中C为特殊点，先求出c，再求出c；,2）利用纬线圆，先求出各个点的H 投影：e(a、b、d)；,3）再求出各个点的W 投影e(a、b、d)；,作图步骤：,（）,（）,4）判断可见性；,5）顺序连接。,三、圆球,1.圆球的投影,(1)圆球的组成：圆球。,(2)圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。,圆球三个投影圆球直径相等的圆。,二、圆球,1.圆球的投影,(1)圆球的组成：圆球。,(2)圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。,圆球三个投影圆球直径相等的圆。,正面最大圆V投影圆其H、W投影积聚在相应轴线上直线段前半球可见，后半球不可见；,水平最大圆H投影圆其V、W投影积聚在相应轴线上直线段上半球可见，下半球不可见；,侧面最大圆W投影圆其H、V投影积聚在相应轴线上直线段左半球可见，右半球不可见。,（3）圆球的投影图,必须画出所有轴线和对称中心线。,注意：,3）点C为球面上一般点，可选水平纬线圆为辅助线：,2.圆球面上的点,例9.已知圆球表面上的三个点A、B、C的V投影，求A、B、C点的另外两个投影。,分析：1）两点A、B 均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。,2）点C 是一般位置点，其投影c 需作水平纬线圆辅助求解。,（b）,c,作图步骤：,1）因a位于正面最大圆的V 投影上，故a 在水平对称中心线上，a在垂直对称中心线上，因它位于左、上半球，所以a 和a均可见;,2）b位于垂直对称中心线上，且不可见，故b在侧面最大圆W投影的左半部分，可直接求出b，再求出b，点B在后、下半球上，故b不可见；,过c作水平线与圆交于点e、f；,以ef为直径，在H投影上作水平圆，c在此圆上；,由c、c求出c；,点C在右下半球上，c、c不可见。,e,f,（）,（）,例10.已知圆球表面上曲线AD的V投影ad，求其另两投影。,分析：在曲线AD上，选若干点A、B、C、D，其中点B和C为特殊点，点B在侧面最大圆上，点C在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线两端点A和D为一般点，需作辅助线求解。,1）求特殊点B、C的H、W投影；,2）过a和d分别作水平纬线圆，求出a和d；,3）由a、a及d、d分别求出a及d；,作图步骤：,（）,（）,4）判断可见性：因BD线段在球的左半部，b是曲线W投影可见性分界点，故a不可见；因AC线段在球的上半部，C是曲线H投影可见性分界点，故d为不可见；,5）顺序连接。,3.圆球面上的曲线,也采用取点的方法特殊点,3.3 平面立体的截交线,截交线截平面与立体表面的交线。,、平面立体的截交线,多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。,截交线的性质：是截平面与立体表面的共有线。,平面立体截交线：由直线段围成的平面多边形。,截平面,截交线,多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；,求：平面立体的截交线,方法一线面交点法：,1)求平面立体棱线与截平面的交点；2）顺序连接各交点，即得截交线。,方法二面面交线法：,1)求截平面与平面立体表面的交线。,截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本书主要以特殊位置截平面为例说明求解平面立体截交线的方法和步骤。,c,s,a,s,s,a,b,d,c,例11.四棱锥SABCD被正垂面P切割，求其截交线的投影。,分析：截平面P与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截平面P是正垂面，其V投影积聚为一直线，故截交线的V投影为直线段，可直接求出；再由其V投影求出W投影，由V、W投影确定其H投影。,作图步骤：,1)标出1、2、3、4；,2)求1、2、3、4；求1、2、3、4；,4)顺序连接。,d,b,3)判断可见性 四棱锥的上部被P平面切去，因而截交线的三个投影均可见；注意棱线SC的W投影为细虚线；,例12.求P、Q两平面与三棱锥SABC截交线的投影。,作图步骤：,1)直接标出1、4及2(3)；,3)作42ab，43ac，根据V投影2(3)求出H投影点2和3；,6)顺序连接。,4)由2、2求出2；由3、3求出3；,2)求出1、4和1、4；,1,2(3),4,1,4,1,4,2,3,2,3,分析：正垂面P与三棱锥的两侧表面SAB和SAC相交于两段直线12和13。水平面Q与两侧表面SAB和SAC相交于水平线24和34，它们分别与三棱锥底面的边AB和AC平行。P、Q两截平面相交于直线23。点1和点4位于SA棱线上，其V投影1和4已知。,5)判断可见性 P、Q两平面交线的H投影23为不可见，画成细虚线；其它交线可见，画成粗实线,例13.已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其H投影。,作图步骤：,1)截交线的H、W投影已知；,3)判断可见性 燕尾槽在长方体底部，不可见，画成细虚线；其它交线可见，画成粗实线；,2)根据V、W投影求出H投影；,分析：物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成的，其交线的V投影有积聚性，可直接得知。截交线的W投影与立体的轮廓线重合，为已知。可以根据截交线的V、W投影求得其H投影,4)注意 俯视图左侧，因开燕尾槽，应擦去线条。,3.4 回转体的截交线,、圆柱的截交线,回转体截交线：由曲线或曲线+直线围成的平面多边形。,回转体截交线求解：1）利用积聚性 2）作辅助面,截平面与轴线垂直圆；,圆柱面的截交线,截平面与轴线平行矩形；,截平面与轴线倾斜椭圆。,是截平面与回转立体表面的共有点集合。,截平面：以特殊位置为例。,求平面与回转体截交线的一般步骤：,1.空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。,2.画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,*光滑连接各点，并判断截交线的可见性。,*先找特殊点，补充中间点。,例14.圆柱体被P、Q二平面截切，试完成其三个投影图。,分析：圆柱轴线V面，被水平面P和侧平面Q所截切；截平面P圆柱的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线。截平面Q垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为平行于W面的一段圆弧。平面P和Q的交线为正垂线。可利用截平面P、Q和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。,作图步骤：,1)画出截平面P、Q的V投影PV、QV；,2)找出截平面P与圆柱面交线的V投影ab、cd及W投影a(b)、c(d)，求出两交线AB、CD的H投影ab、cd；,4)顺序连接。,3)找出截平面Q与圆柱面交线的W投影bed及V投影bed，求出H投影bed；,由于P平面为正垂面，截交线在V投影面上有积聚性。,例15.圆柱体被正垂面截切，试完成其H投影图。,作图步骤：,1)找出特殊点A、B、C、D的三面投影；,2)确定若干一般点：求点E及其对称的三点：在W投影上确定e，由e在V投影上求出e，由e和e求出H投影上的点e；,方法二：先求出截交线在H投影面上的椭圆长短轴ab和cd，再利用四心法画近似椭圆。,3)求出足够的一般点，然后顺序光滑连接起来，即得截交线的H投影。,a,A,B,C,D,b,c,d,a,b,c,a,b,c,d,e,e,e,圆柱面的W投影具有积聚性，故截交线的W投影与圆柱面的W投影重合。,由于P平面与H面倾斜，所以截交线的H投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭圆。,分析：截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。,截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴线夹角的变化而变化。,45时，截交线的H投影为圆,45,45,例16.圆柱上部有一切口，若已知其V投影，试求H、W投影。,分析：圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的铅垂线。水平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。,例17.空心圆柱上部有一切口，若已知其V投影，求H、W投影。,分析：空心圆柱的上部被两个侧平面和一个水平面截切，形成一个长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。,二、圆锥的截交线,当平面与圆锥表面相交时，随着截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截交线的形状有五种：,截平面垂直于圆锥轴线时，截交线为圆。,截平面与圆锥轴线的夹角/2时，截交线为椭圆。,截平面与圆锥轴线夹角/2时，截交线为抛物线加直线段。,当/2时，截平面平行于圆锥面上的两条素线，截交线为双曲线加直线段。,当截平面过圆锥顶点时，截交线为等腰三角形。,求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。,求特殊点,求一般点,顺序连接,步骤：,回转体界限素线上的点,其它对作图有意义的点,（如椭圆长短轴的端点）,复习：圆锥面上的曲线,例18.求图示正垂面与圆锥的截交线。,分析：截平面P与圆锥轴线斜交，且/2，故截交线为椭圆。截交线的V投影积聚为直线段，而其H投影和W投影仍为椭圆。先求特殊点，再求一般点。,作图步骤：1)找出特殊点A、B、C、D的V投影，这是截交线椭圆长、短轴的端点，所以c、(d)位于ab的中点；2)求出A、B的H、W投影；3)过C、D作水平纬线圆，求其H投影c、d，并根据投影关系求出c、d；4)求特殊点E、F，这两点是W投影界限素线上的点，找出其V投影e、f，e、fe、f；5)采用纬线圆法求一般点G、H；6)画出H、W投影上面的椭圆。在W投影上，椭圆应与圆锥的界限素线的投影切于e、f。,b,a,b,c,e,a,a,b,c,d,c,d,e,f,e,g,g,h,f,例19.正平面P截切圆锥，求截交线的投影。,分析：P平面平行于圆锥的轴线，截交线为双曲线加直线段，其H投影积聚在PH上，W投影积聚在PW上，截交线的H、W两个投影已知，可求出V投影。,作图步骤：先求特殊点1、2、3，再用纬线圆法求一般点。,k,k1,例20.圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其V投影，求作H、W投影。,分析：截平面P为正垂面且过锥顶，其与圆锥面的交线为两段相交直线，截平面Q为侧平面，垂直于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为一段圆弧。面P与面Q 相交于一直线（正垂线）。,作图步骤：,在V投影上过s、k、(k1)作直线，交圆锥底圆周的V投影于1(2)点；由此可求出s1、s2和s1、s2；空间点K和K1分别位于S1和S2两条直线上，可求出其W投影k、k1和H投影k、k1；在W投影上，以s为圆心，以sk为半径画弧kek1，即为其W投影，且反映实形。其H投影积聚为直线段kek1；作出平面P与Q交线的W投影kk1，完成圆锥的H、W投影。,1,2,1(2),k,k1,e,2,1,平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。,三、圆球的截交线,截平面投影面截交线的投影是圆、直线,截平面投影面截交线的投影是椭圆、直线,例21.正垂面P与球面相交，求其截交线的投影。,分析：P平面与球面相交的截交线为圆，其V投影有积聚性，H投影和W投影均为椭圆。,例21.正垂面P与球面相交，求其截交线的投影。,分析：P平面与球面相交的截交线为圆，其V投影有积聚性，H投影和W投影均为椭圆。,作图步骤：1)求特殊点1、2、5、6、7、8，这六个点是界限素线上的点；2)求特殊点3、4，这两个点是极限位置的点（最前、最后），同时也是H、W投影椭圆的长轴端点；3)用纬线圆法求一般点A、B、C、D；4)顺序光滑连接。,1,2,3,4,（）,8,（）,7,（）,5,6,1,2,1,2,5,6,5,6,7,8,7,8,3,4,3,4,a,b,c,d,a,b,c,d,例22.已知开有通槽半圆球的V投影，求其H、W投影。,分析：通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，与球面的交线均为圆弧。其中侧平圆弧在V、H投影上积聚为直线段，W投影上反映实形。水平圆弧在V、W投影上积聚为直线段，在H投影上反映实形。,核心：分析清楚圆弧投影之后的圆心位置与半径大小。,例22.已知开有通槽半圆球的V投影，求其H、W投影。,作图步骤：1)求出两段水平圆弧的H投影；2)画出两段侧平圆弧的W投影；,核心：分析清楚圆弧投影之后的圆心位置与半径大小。,3)画出通槽水平底面的W投影，不可见部分画细虚线；4)擦除半球上部被切去的轮廓线，即所求。,分析：通槽是由两侧平面和一个水平面截切而成，截交线均为圆弧。其中侧平圆弧在V、H投影上积聚为直线段，W投影上反映实形。水平圆弧在V、W投影上积聚为直线段，在H投影上反映实形。,例23.已知组合回转体被两个平面截切，完成其V投影。,分析：该回转体是由两个圆柱和一个半圆球面组合而成，左端半圆球与圆柱2相切，右边为一大圆柱3，被正平面和侧平面切割。,作图步骤：1)以o为圆心、o1为半径在V投影上画出半圆；2)求正平面与圆柱2的交线；3)求正平面与圆柱3的交线；4)求正平面与圆柱3左端面的交线GD和EB，求出其V投影gd、eb；5)求出侧平面与圆柱3的表面交线的V投影；,6)完成圆柱2与圆柱3左端面的交线的V投影，中间一段bd为细虚线。从而完成作图。,3.5 回转体的相贯线,回转体相贯线：两个立体相交所形成的表面交线称为相贯线。,回转体相贯线性质：1）相贯线是两个立体表面的共有线，共有线上的每一点都是两立体表面的共有点；2）相贯线是两个立体表面的分界线；3）相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。,两平面立体相交,平面立体与曲面立体相交,两曲面立体相交,其相贯线，可归结为求棱线与平面的交点问题。,其相贯线，可归结为求平面与曲面立体截交线问题。,求其相贯线两种主要方法：1.利用积聚性求相贯线；2.利用辅助平面求相贯线。,一、利用积聚性求相贯线,当两个圆柱的轴线分别垂直于不同的投影面时，相交的两圆柱的表面相对于投影面有积聚性，可利用积聚性直接求出两立体表面的相贯线。,例24.试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。,分析：两个圆柱体的圆柱面分别在俯视图和左视图上具有积聚性，因此，它们的相贯线投影也分别处于这两个积聚圆上，找出这两个投影，其主视图投影就很容易求出了。,作图步骤：1)求出相贯线上的特殊点A、B、C、D；,2)求出若干个一般点、等；,3)光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4)整理轮廓线。,例24.试求两轴线垂直相交圆柱相贯线的投影。,(),(),圆柱外表面与 圆柱内表面相贯,两圆柱内表面相贯,二、用辅助平面求相贯线,当两曲面立体表面相交，其相贯线不能用积聚性直接求出时，可用辅助平面法求解。,辅助平面法的原理：在两个立体的公共部分作辅助平面，该辅助平面同时截切两个立体，得到两部分截交线。由于它们都在同一个平面（截切平面）上，必有交点，交点就是相贯线上的点。,圆柱与圆锥相贯：作一水平辅助平面P，平面P与圆锥面的辅助交线为圆。平面P与圆柱面的辅助交线为两平行直线AC、BE。,交线AC、BD与交线圆同在平面P上，A、B两点既在圆柱面上，又在圆锥面上，所以是三个面的公共点也就是相贯线上的点。用此方法求出足够数量的点，然后依顺序光滑连接，即可求得相贯线的投影。,辅助平面的选择原则：,辅助平面法求相贯线的作图步骤：,1)选择适当位置的辅助平面；2)求作辅助平面与两相贯立体的辅助交线；3)求出辅助交线的交点，即为相贯线上的点。,所选辅助平面与两相贯立体的截交线的投影应是简单 易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作为辅助面。2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内。,例25.求下图所示圆柱与圆锥相贯线的投影。,分析：相贯线的W投影在圆柱W投影的圆周上。相贯线的V、H投影需用辅助平面法求出。选择水平面为辅助平面，交圆锥面于圆，交圆柱面于两条平行直线。求得圆和两条平行直线的交点，就可以得到相贯线上的点。,作图步骤：1)求特殊点1、2最高、最低点；2)求特殊点3、4最前、最后点；3)求一般点A、B作水平辅助面P；4)同理求出足够的一般点；5)顺序光滑连接各点，并分辨可见性。,方法二：过锥顶作侧垂面为辅助平面。辅助平面与圆柱面的交线为两条平行直线，截切圆锥面的交线为两条相交直线，也可求得相贯线上的点。,例26.求两斜交圆柱的相贯线。,作图步骤：,1)求特殊点1、2最高点;,2)求特殊点3、4最低点;,3)作正平辅助面P，求出P平面与两圆柱面交线的V投影;,4)求一般点A、B；,6)分辨可见性，顺序光滑连接各点的同面投影，即得所求相贯线。,5)求出足够数量的一般点；,分析：水平圆柱的W投影积聚为圆，相贯线的W投影重合在该圆周上。相贯线的H、V投影未知。可选用正平面P作为辅助面，与两圆柱面分别相交，交线为两条正平线和一条侧垂线，其交点就是相贯线上的点。与水平大圆柱的左端面相交，交线为平行于直立圆柱轴线的两直线。,例26.求两斜交圆柱的相贯线。,方法二：选择与斜圆柱轴线平行的正垂面Q作辅助面。辅助平面Q截切倾斜圆柱为两条平行直线，截切水平圆柱为椭圆，但是该椭圆的W投影为圆，用这种方法也可以求得相贯线上的点。,辅助平面的选择原则,使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画，例如直线或圆。,3,2,（4）,1,e,f,d,b,a,c,e,f,c,(a、b、d),4,2,(3),1,c,a,b,d,2,4,3,例27.求圆柱与半圆球相贯线的投影。,分析：圆柱面的H投影有积聚性，相贯线的H投影与圆柱面的H投影重合。只需求相贯线的V投影。可以选择的辅助面为正平面、侧平面和水平面，本题选用正平面作为辅助面。,作图步骤：1)求特殊点3、4半球面界限素线上的点；,2)求特殊点1、2、5、6圆柱面界线素线上的点；3)求特殊点7、8最低、最高点；求一般点的投影9、9和10、10；4)求一般点A、B；5)求得足够数量的一般点，分辨可见性，顺序光滑连接各点。在V投影上1、2为可见性分界点。,三、相贯线的特殊情况,1）蒙日定理,若两个二次曲面共同外切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线。,两圆柱的轴线正交，直径相等，同切于一圆球，它们相贯线为两个平面椭圆。,圆柱与圆锥相交。它们的轴线正交，且外切于同一圆球，它们的相贯线为两平面椭圆。,2）共轴回转体,若两回转曲面相交，具有公共回转轴线时，其相贯线为圆。当回转曲面轴线过球心时，回转体与球的相贯线为圆。,共轴的圆柱与圆锥,共轴的圆柱与圆球,共轴的圆锥与圆球,共轴的圆环与圆球,共轴的圆锥圆球圆柱,四、圆柱、圆锥相贯线变化规律,1.两圆柱相贯,圆柱与圆柱、圆柱与圆锥相贯时，相贯线的空间形状取决于两回转体的形状大小及它们之间的相对位置。,回转体尺寸大小发生变化，相贯线变化的趋势：,d1d2，相贯线为上下两条空间曲线,当一圆柱直径不变而另一圆柱直径发生变化时，相贯线的变化情况。,d1d2，相贯线退化为平面曲线(两椭圆)，其V投影为相交直线；,d1d2，相贯线变为左右两条空间曲线,2圆柱与圆锥相贯,（1）当圆(圆柱的投影)在三角形(圆锥的投影)内时，相贯线为左、右两条空间曲线，其V投影双曲线向圆锥轴线方向弯曲；,圆锥的大小不变，圆柱、圆锥相对位置不变，改变圆柱直径时，相贯线的变化情况。,（2）当圆与三角形相切时，相贯线由空间曲线退化为平面曲线(两相交椭圆)，其V投影为两相交直线；,（3）当圆与三角形相交时，相贯线为上、下两条空间曲线，其V投影双曲线向圆柱轴线方向弯曲。,从W投影可看出：,五、综合举例,多个回转体相贯，其相贯线由多条空间曲线（或直线）构成。虽然有多个回转体参与相贯，但在局部上看，其相贯线总是由立体两两相交产生的。,关键分清参与相贯的多体都是由哪些基本回转体组合而成的，以及他们的分界在什么位置。在分界的不同侧，按照两立体相贯来求相贯线。,例28.求三个回转体相交的相贯线。,分析：直立圆柱与左端水平圆柱的直径相等，它们的相贯线为一段椭圆弧；直立圆柱与右端水平圆柱相贯线是一段空间曲线；直立圆柱与水平大圆柱的左端面相交，截交线为平行于直立圆柱轴线的两直线。,三个回转体的相贯线是由特殊相贯线(椭圆弧)、两条直线、一段空间曲线三部分构成。该相贯线前后对称。,作图步骤：1)求特殊相贯部分；2)求直立圆柱与水平大圆柱的左端面的截交线；3)求直立圆柱与水平大圆柱的相贯线，可利用积聚性根据H、W投影求出其V投影。,本章小结,辅助面的选择：必须使辅助交线的投影是简单的直线或圆。,主要内容,立体的投影,平面与立体的截交线,立体与立体的相贯线,平面立体,表面平面棱线两端点,投影各表面的交线及各顶点的投影,表面上取点、取线平面上取点、取线；需分清它们位于哪一个表面上，然后再求解。,相交元素的共有线求共有点,求交线的方法,1.交线的两个投影有积聚性直接求得第三个投影。2.交线的一个投影有积聚性在表面上取点求出其 它投影相贯线辅助面法求其它投影；3.交线的投影均无积聚性用三面共点辅助面法。,步骤,1.先对题目进行空间分析和投影分析，搞清楚已知的 是什么，要求的是什么；2.明确需用什么方法来解题，然后再进行作图。,曲面立体(回转体),表面回转面（+底平面）棱线两端点,投影回转面（+底平面）投影必画轴线+中心线,有积聚的表面上取点、取线平面上取点、取线；无积聚的表面上取点、取线辅助线（面）。,本 章 结 束,退出本章,