第二章、随机过程的基本概念.ppt

2023年9月7日星期四,第1页共51页,第2章 随机过程的基本概念,2.1 随机过程的定义,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2.3 随机过程的数字特征,2.5 几类重要的随机过程,2.4 复随机过程,2023年9月7日星期四,第2页共51页,2.1 随机过程的定义,1、随机过程的定义,2023年9月7日星期四,第3页共51页,为该概率空间上的随机过程，简记为,由RT的定义，对于RT,2.1 随机过程的定义,2023年9月7日星期四,第4页共51页,2、随机过程的分类,依据参数集T和状态集S是离散或连续可将随机过程分成四类。,（1）离散参数、离散状态的随机过程；,（2）离散参数、连续状态的随机过程；,（3）连续参数、离散状态的随机过程；,（4）连续参数、连续状态的随机过程。,2.1 随机过程的定义,2023年9月7日星期四,第5页共51页,2.2 随机过程的有限维分布函数族,1、有限维分布的定义,设RT,(3),2023年9月7日星期四,第6页共51页,称为RT,的n维分布函数。,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第7页共51页,服从二维正态分布，又,则,所以,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第8页共51页,2、有限维分布函数的性质,（1）对称性,（2）相容性,对任意mn有,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第9页共51页,(3)存在定理,设已给参数集T及满足上述对称性及相容性的有限维分布函数族,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第10页共51页,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第11页共51页,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第12页共51页,2.2 随机过程的有限维分布函数族,2023年9月7日星期四,第13页共51页,2.3 随机过程的数字特征,设RT,1、随机过程的数学期望,称为数学期望；,称为方差；,称为均方值。,2、相关函数,称为相关函数。,显然,2023年9月7日星期四,第14页共51页,3、协方差函数,称为协方差函数。,显然,解：,2.3 随机过程的数字特征,2023年9月7日星期四,第15页共51页,4、互相关函数与互协方差函数,2.3 随机过程的数字特征,2023年9月7日星期四,第16页共51页,由定义可知,一般情况下,由定义得,若,2.3 随机过程的数字特征,2023年9月7日星期四,第17页共51页,2.4 复随机过程,1、复随机过程的数字特征,(1)均值函数为,(2)相关函数为,(3)协方差函数为,2023年9月7日星期四,第18页共51页,类似可定义两个复随机过程的互相关函数与互协方差函数.,2.4 复随机过程,2023年9月7日星期四,第19页共51页,1、二阶矩过程,(1)定义,(2)二阶矩过程的性质,1)二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在。,2)二阶矩过程的相关函数满足:,Hermit性:,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第20页共51页,证明:(2),2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第21页共51页,(3)二阶矩过程的存在定理,2、正态过程,由 维正态分布知，正态过程为二阶矩过程。,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第22页共51页,故正态过程的有限维分布由其均值函数与协方差函数所确定。,解：,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第23页共51页,由于A，B为相互独立的正态随机变量,故,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第24页共51页,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第25页共51页,3、正交增量过程,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第26页共51页,(2)F(t)的性质,所以,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第27页共51页,2)设,则有,即,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第28页共51页,4、独立增量过程,既是平稳增量过程,又是独立增量过程,则其为平稳的独立增量过程.,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第29页共51页,(2)独立增量过程的有限维分布族由其一维分布和增量的分布确定.,作变换:,于是,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第30页共51页,5、维勒过程(Wienr),2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第31页共51页,证明:1)定义条件3)中s=0即得;,2)同上一目F(t)性质(2);,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第32页共51页,3)对,相互独立,且,所以,是n维正态向量,而,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第33页共51页,6、泊松过程,(1)计数过程,代表在时间间隔t-s内随机事件发生的数目.,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第34页共51页,(2)泊松过程的定义,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第35页共51页,2),3),(3)波松过程的数学模型,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第36页共51页,证明:显然条件1)3)对应泊松过程定义条件1)2),只须证满足定义条件3),即证,令:,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第37页共51页,又,令,取极限得,解之得,又,得C=1.,当n0时,有,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第38页共51页,令,取极限得,由,得,(递推公式),2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第39页共51页,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第40页共51页,证明：显然：N(0)=0,N(t)具有平稳独立增量，只须证N(t)服从波松分布.,由独立性,由唯一性知N(t),(4)波松过程的到达时间与点间间隔的分布,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第41页共51页,为第一个,第二个直至第n个顾客到达服务机构的时刻,称,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第42页共51页,证明(1),由于N(t)具有平稳增量性,故落在区间s,s+t)中随机点的个数仅与t有关,与s 无关.,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第43页共51页,(2),2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第44页共51页,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第45页共51页,(3)求在,观察到一辆红色汽车,下三辆将是红的,然后是非红的汽车的概率.,解:1)由相互独立的波松过程之和仍为波松过程,其强度为,设,表示两辆红色,绿色,蓝色,非红色到达时间间隔,则,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第46页共51页,同理,下一辆是蓝色汽车的概率为,下一辆是非红汽车的概率为,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第47页共51页,3)所求概率为P=P,下三辆是红色;后一辆为非红色,(5)到达时间的条件分布,(6)复合波松过程,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第48页共51页,设,为强度,波松过程,是一列独立同分布的随机变量,令,称,为复合波松过程.,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第49页共51页,例7、设到达商店的顾客组成强度为,，每个顾客,是购买商品的顾客流.证明,强度为,波松流。,解:由Y(0)=0,且在不相同时间区间内购买商品的顾客数相互独立.所以只须证明,有,若在s,t)内有n个顾客到达商店,则购买商品的顾客数服从二项分布,即,购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关.若,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第50页共51页,又,2.5 几类重要的随机过程,2023年9月7日星期四,第51页共51页,作业:P72 习题二 2、7、8、10、15、23、26。,2.5 几类重要的随机过程,