哈工大课件-第6章正弦电流电路.ppt

第6章 正弦电流电路,本章介绍电压、电流随时间按正弦规律变化的电路即正弦电流电路，这是一类在理论上和工程上具有重要意义的电路。主要内容包括：正弦量的相量表示、元件方程和基尔霍夫定律的相量形式、阻抗和导纳的概念、电路方程和电路定理的相量形式、含互感的正弦电流电路的计算、正弦电流电路功率的特点及计算方法。,1 正弦电流,3 基尔霍夫定律的相量形式,2 正弦量的相量表示法,5 RLC串联电路的阻抗,6 GCL并联电路的导纳,4 RLC元件上电压与电流的相量关系,7 正弦电流电路的相量分析法,9 正弦电流电路的功率,10 复功率,11 最大功率传输定理,8 含互感元件的正弦电流电路,本章目次,在指定电流参考方向和时间坐标原点之后，正弦电流的波形如图6.1(b)所示。,基本要求：掌握正弦量的振幅、角频率和初相位；正弦量的瞬时值、有效值和相位差。,随时间按正弦规律变动的电流称为正弦电流。图6.1（a）表示流过正弦电流的一条支路。,图6.1 经过某支路的正弦电流、波形,我国电力系统标准频率为 50Hz，称为工频，相应的角频率。,得有效值与最大值间的关系,有效值,当周期电流 i=f(t)和直流 I 分别通过相同的电阻R，若二者作功的平均效果相同，则将此直流 I 的量值规定为周期电流 i 的有效值，用 I 表示。有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再开方：,正弦电流电路常用的几个概念,若 则称电压、电流为同相。如图（6.3a）所示:,，则称 u 越前 i 于，即 u 比 i 先达到最大值或先达到零值。如图6.3b所示,在图6.4中,参考正弦量,一旦把某一正弦量选作参考正弦量，其它同频率的正弦量的初相也就相应被确定,图6.4中电流 其初相为-，故 i 的波形图较参考正弦量u 的波形图沿横轴右移。,示波器显示三个工频正弦电压的波形如图所示，已知图中纵坐标每格表示5V。试写出各电压的瞬时表达式。,图题6.1 示波器上显示的三个正弦波,设u1、u2 和u3依次表示图中振幅最大、中等和最小的电压，其幅值分别为5V、10V和15V。,取 u1为参考正弦量，即,图6.5 时域分析过程示意图,正弦电流电路,建立电路方程(含微积分方程),基本要求：掌握正弦量的相量表示法原理、相量运算规则及相量图。,得时域响应表达式,思考：正弦函数微积分或几个同频率正弦函数相加减的结果仍是同频率正弦量。能否用一种简单的数学变换方法以避免繁琐的三角函数运算？,正弦电路电压、电流都是随时间按正弦规律变化的函数。在含有电感和(或)电容的正弦电路中，元件方程中含有微积分形式的方程。因此，在时域内对正弦电路进行分析时，需要建立含微积分的电路方程，分析过程如图6.5所示。,设A是一个复数，可表示为直角坐标式,极坐标式,简写为,比较式(6.10)和(6.11)有,1.复数的表示法：,补充6.1 把复数分别化为直角坐标式。,复数A还可以用复平面上的点或有向线段表示相量图，如图6.6,解,比较式（6.9)、(6.14)得,其中,2.正弦量的相量表示:,正弦量一般表达式为:,最大值相量,正弦量振幅,正弦量初相,分别写出代表正弦量的相量,已知电压相量 U1m=(3-j4)V，U2m=(-3+j4)V，U3=j4V。写出各电压相量所代表的正弦量（设角频率为,旋转相量旋转相量任何时刻在实轴上的投影对应于正弦量在同一时刻的瞬时值。,关于相量说明,1.相量是复值常量，而正弦量是时间的余弦函数，相量只是代表正弦量，而不等于正弦量。,2.复平面上一定夹角的有向线段 相量图6.7所示,3.复数 的辐角是随时间均匀递增的，所以这一有向线段将以原点为圆心反时针方向旋转，旋转角速度为 如图6.8所示,两个同频率正弦量相等的充要条件是代表这两个正弦量的相量相等。即对于所有的时间t，充要条件为,(1)惟一性,(2)线性性质N个同频率正弦量线性组合（具有实系数）的相量等于各个正弦量相量的同样的线性组合。设(bk 为实数)，则,3.相量运算规则：,由此可见，由于采用相量表示正弦量，正弦量对时间求导运算变换为用 j 乘以代表它们的相量的运算。这给正弦电流电路的运算带来极大方便。,根据正弦量的相量表示的惟一性和微分规则，与上述微分关系对应的相量关系式为,设电感的磁链为正弦量,它所引起的感应电压也是同频率的正弦量 写出电压相量和磁链相量的关系。,当u和的参考方向符合右螺旋定则时,或,基尔霍夫电流定律KCL的相量形式：,基尔霍夫电流定律方程的时域形式为,即：在集中电路中，任意时刻流进（或流出）节点端子电流的代数和等于零。,当方程中各电流均为同频率的正弦量时，根据相量的惟一性和线性性质，可得基尔霍夫电流定律方程的相量形式为：,基本要求：透彻理解相量形式的基尔霍夫定律方程,比较与线性直流电路相应方程的异同。,基尔霍夫电压定律方程的时域形式为,在集中参数电路中，任意时刻回路全部元件端对的电压代数和等于零。,当方程中各电压均为同频率的正弦量时，根据相量的惟一性和线性性质，可得基尔霍夫电压定律方程的相量形式为：,在集中参数正弦电流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和等于零。,基尔霍夫电压定律KVL的相量形式：,图(a)已知 V，V 求节点2与3之间的电压，并画出电压相量图。,沿回路1231列相量形式的KVL方程为,电压相量图见(b),设代表电压u1、u2、u23的相量分别为,1 电阻元件,有效值 相位,时域,基本要求：熟练掌握相量形式的元件方程，理解元件方程的时域形式与相量形式的对应关系。,时域,结论：电感上电压比电流越前 90；电压、电流有效值(或幅值)之比等于感抗 XL。,2 电感元件,电感的相量电路模型,时域：,容抗,3 电容元件,补充6.2 图示各电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i的有效值。,已知图题6.6所示电路中 L=3H，C=5 10-3F。试求电压 和。,图题 6.6,感抗和容抗分别为,根据,得各电压的时域表达式,直流电路中无独立源一端口网络（仅由线性电阻和线性受控源组成的电路）对外可以等效成,电阻 R；,那么不含独立源的线性交流一端口网络，如图6.12,它对外的等效电路是什么？,基本要求：透彻理解阻抗的概念以及引入阻抗的理论意义。,根据基尔霍夫电压定律的相量形式，图（b）所示电路的端口电压相量方程为,令 Z=,等效电路如图6.13(c)所示,6.13(b),分析：,XL|XC|时阻抗角,电压 u 越前于电流 i,R、L、C串联电路呈现感性；,XL|XC|时阻抗角 电压 u 滞后于电流 i,R、L、C串联电路呈现容性；,XL=|XC|时阻抗角电压 u 与电流 i 同相，R、L、C串联电路呈现阻性。,又根据,可得,根据式,R、L、C 串联电路（图6.13b），电压、电流的相量图如图6.14所示,有效值的关系：,相量图,R、L、C串联电路电压相量图组成直角三角形，它与阻抗三角形与相似。如图6.15所示,一个电阻R=15、电感L=12mH的 线圈与C=5F的电容器相串联，接在电压V的电源上，=5000rad/s。试求电流i、电容器端电压uC和线圈端电压uW。,此为R、L、C串联，其阻抗,电流相量和瞬时表达式分别为,电容电压相量和瞬时表达式,线圈看成RL串联，其阻抗,线圈端电压相量和瞬时表达式,说明：以i为参考正弦量，比 越前90，比 滞后90。将电感和电容串联部分的电压称为电抗电压，用=+来表示。由图可见，和 相位相反，电抗电压 的振幅 应等于 和 振幅之差。,RLC串联电路波形如图6.16所示,将GCL并联电路的时域模型变换成相量模型，如图6.17（b）所示,以GCL并联电路为例，如图6.17(a),根据基尔霍夫电流定律的相量形式，图6.17（b）的KCL方程相量形式为,基本要求：透彻理解导纳的概念以及引入导纳的理论意义、等效阻抗与等效导纳的关系。,GCL并联等效电路用图6.17(c)表示,即有,端口电流越前于电压，GCL并联电路呈现容性。,有效值 I=,其中：,说明：Y 与 Z 等效是在某一频率下求出的，故等效的 Z 或 Y 与频率有关。,复阻抗与复导纳之间的关系：,GCL并联电路的导纳为,其等效阻抗,=(164+j235),阻抗 Z 的虚部为正，其串联等效电路是由电阻和感抗构成，其中等效电感为,等效电路如右图所示。,有一GCL并联电路，其中G=2mS,L=1H,C=1 F。试在频率为50Hz和400Hz两种情况下求其串联等效电路的参数。,阻抗 Z 的虚部为负，表明它所对应的等效电路是由电阻和容抗串联构成，等效电容为,等效电路如图(b)所示,比较图(a)、(b),可见,一个实际电路在不同频率下的等效电路，不仅其电路参数不同，甚至连元件类型也可能发生改变。这说明经过等效变换求得的等效电路只是在一定频率下才与变换前的电路等效。,补充6.3 在图示电路中已知，w=2103rad/s。(1)求 ab 端的等效阻抗和等效导纳。(2)求各元件的电压、电流及电源电压 u，并作各电压、电流的 相量图。,各电压、电流相量图如下,用相量表示正弦电压、电流并引入阻抗和导纳来表示元件方程，使得相量形式的基尔霍夫定律方程和元件方程均变成了线性代数方程，和直流电路中相应方程的形式是相似的。分析步骤如下：,1 将电阻推广为复阻抗，将电导推广为复导纳。,2 将激励用相量形式表示，恒定电压、电流推广为电压、电流的相量。,3 按线性直流电路分析方法计算相量模型电路。,4 将所得的电压、电流相量计算结果变换成正弦表达式。,基本要求：熟练掌握正弦电流电路相量分析法原理及步骤、电路方程和电路定理的相量形式。,过程示意图见下页。,得时域响应表达式,建立含微积分的电路方程(时域分析过程),正弦电流电路,正弦电流电路相量分析法过程示意如图6.20,图6.20 正弦电流电路相量分析法过程示意图,解 取,L上电流滞后电压 90o，即,注意：电流表读数均为有效值，有效值不满足KCL方程，而电流相量是满足KCL方程的。,补充6.4 已知 的读数是5A,和R数值相等，求 和 的读数。,即 读数为5A,读数为,各电压、电流相量图如下,将图(a)中时域电路模型变换为相量模型，如图(b),设图(a)电路中，求电流。,补充6.5 在图示电路中，各元件电压、电流取关联参考方向。设 A，写出各元件电压、电流相量。,补充6.6 已知图示电路中 UR=UL=10V，R=10W，XC=-10W，求 IS.,补充6.7 下图所示电路中，w=100rad/s。试用支路电流法求电流 i1。,解 采用支路电流法。节点KCL方程,回路KVL方程,补充6.8已知图示电路中 g=1S，w=1rad/s。求受控电流源的电压 u12。,解,解得,列写节点电压方程：,补充6.9 在图示 RC 移相电路中设，试求输出电压uo和输入电压ui的相位差。,解,uo越前于 ui 的相位差为,分析：图示电路含理想变压器，取节点为参考点时节点和的节点电压也是理想变压器的端口电压。理想变压器是二端口元件，其端口电压、电流不服从欧姆定律，所以不能用自导纳和互导纳表示其参数。这时应采用改进节点电压法，即增加端口电流、为变量。,上述节点方程包含、两个未知量，因此还要引用理想变压器本身的两个方程,方程(1)(4)联立便可得解,列写图示电路的改进节点电压方程。,图示电路中,C=0.5F 时，求当 C=0.25F 时，iC=？,(b),对原电路做戴维南等效，如图（b）所示。,图(a)所示电路，正弦电压源角频率为=1000rad/s，电压表为理想的。求可变电阻比值R1/R2为何值时，电压表的读数为最小？,理想电压表的阻抗为无穷大，为串联，设，分得分压为,电阻电压为,根据KVL，电压表两端电压表达式为,因其虚部与 无关故当实部为零时，的模即电压表的读数便是最小。因此得,通过做出相量图可进一步理解可变电阻改变时电压表读数的变化。设 为参考相量，由式(1)、(2)、(3)画出相量图如图(b)所示。,说明：由式(1)可知，当改变可变电阻时，的模发生变化而相位不变。再由相量图(b)可见，当 变到与 正交即式(3)括号中的实部为零时，的长度即电压表的读数为最小。,基本要求：掌握互感元件方程的相量形式及其应用，会用支路电流法或回路电流法列写含互感电路的方程，掌握含互感电路的等效化简。,1 互感元件的相量模型,说明：由于互感元件方程宜表达成电压是电流的函数，故对含互感的电路宜选用以电流为变量的分析方法，例如支路电流法和回路电流法。,图6.21 互感元件的电路模型,列出图6.22所示电路的方程。,式中、为互感端口电压，根据式,方程(1)、(4)、(5)联立便可得解。,2 含互感元件电路方程的列写,图6.22 例题 6.15,列出图6.23所示电路的回路电流方程。,回路1,回路2,回路3,方程(1)中 和 分别为回路电流、通过互感在回路1中产生的电压。,图6.23 例题 6.16,补充6.10 设图示一端口网络中，rad/s，求其戴维南等效电路。,解 用消互感法，如图（b）所示,相量形式的戴维南等效电路如图(c)所示,图6.24 补题 6.10,(1)互感在电路中常用于传输和变换作用，其电路结构如图6.25(a)所示，此时可将副边线圈所在的电路等效到原边,当从原边看进去时，相当于无源一端口网络，可用阻抗来等效。对互感原边和副边所在回路分别列写KVL方程得,即求得从原边看进去的等效阻抗为,等效电路如图6.25（b）所示,表示副边回路阻抗对等效阻抗的影响，称为副边对原边的引入阻抗，其实部和虚部分别称为引入电阻和引入电抗。,图6.25(a),3 互感的阻抗变换作用,(应用原边等效电路)下图所示为耦合系数测试电路。设开关S分别处于断开和接通位置时，用LCR表(一种测量二端电感、电容、电阻参数的仪器)测得a,b端等效电感为LOC=0.8H，LSC=0.1H。试根据上述结果计算互感的耦合系数。,开关断开时，原边电感就是此时的等效电感,即,当开关接通时，输入端口等效阻抗,将 及式(1)代入式(2)得,(2)当互感线圈的原边接电源，则从副边看进去时相当于含独立源一端口网络，可用戴维南电路或诺顿电路来等效。,当副边开路时，端口方程简化为,计算戴维南等效阻抗，根据式(6.63)，于是,等效戴维南电路如图（b）,求图(a)电路的戴维南等效电路。,1.瞬时功率,一端口网络的端口电压、电流分别为,则一端口网络输入的瞬时功率为,反映一端口网络吸收电能,时间的正弦函数，反映一端口网络与外部电路交换能量。它在一个周期内的平均值等于零。,基本要求：了解正弦电路瞬时功率的特点；透彻理解平均功率、无功功率、视在功率和功率因数的定义及其计算；熟练掌握RLC元件功率的特点。,一端口网络吸收功率的平均值称为平均功率，通常所说交流电路的功率是指平均功率，定义为：,在一般情况下,2 R、L、C 各元件的功率（三种特殊情形）,1)设一端口网络是一个电阻R，此时u与 i 同相，即 则瞬时功率,功率因数,功率因数角,（6.67）,正值电阻总是吸收功率，u 与i真实方向相同。2电阻的平均功率为：,纯电阻,2)设一端口网络是一个电感L，此时电压 u 比电流 i 越前90,即,说明：,1.电感吸收瞬时功率是时间的正弦函数，其角频率为,3.pL在一个周期内的平均值等于零，即它输入的平均功率为零，表明在一个周期内电感吸收与释放的能量相等，是无损元件,瞬时功率,说明：,结论：在正弦电流电路中，同相位的电压与电流产生平均功率，且等于其有效值之积；而相位正交的电压与电流不产生平均功率。,1.电容吸收瞬时功率是时间的正弦函数，其角频率为,3)设一端口网络是一个电容，此时端口电压u比电流i 滞后,3 无功功率和视在功率,(U、I 为电感或电容的端口电压、电流有效值),由式(6.67)可知，一端口吸收的平均功率为,电流有功分量,表示电气设备容量，单位伏/安（VA）,视在功率的定义,线圈电阻、感抗和电感分别为：,在工频条件下测得某线圈的端口电压、电流和功率分别为100V、5A和300W。求此线圈的电阻、电感和功率因数。,补充6.11 图示正弦稳态电路，已知 U1=UR=100V，滞后于的相角为60，求一端口网络 A 吸收的平均功率。,提高功率因数的意义：通过减少线路电流来减小线路损耗；提高发电设备利用率。,说明：图中电流 仍表示原来感性负载的电流，是比电压 越前 的电容电流。此时一端口所需电流为，滞后 的相位差为，且。可见，由于在感性负载上并联电容，使得一端口的功率因数由原来的 提高到，其实际效果是使一端口电流从原来的 减小到。,功率因数的提高,原理：利用电场能量与磁场能量的相互转换，或者说利用容性无功与感性无功的相互补偿，来 减少电源输出电流的无功分量，从而减小电源的无功功率。原则：确保负载正常工作。,下图所示电路，感性负载Z接于220V、50Hz正弦电源上，负载的平均功率和功率因数分别为2200W和0.8。(1)求并联电容前电源电流、无功功率和视在功率。(2)并联电容，将功率因数提高到0.95，求电容大小、并联后电源电流、无功功率和视在功率。,(1)并联电容前电源电流等于负载电流,负载功率因数角,电源无功功率等于负载无功功率,电源视在功率,(2)并联电容后功率因数角,有功功率不变，无功功率为,电源无功功率的差值等于电容上的无功功率,故并联电容为,并联电容后的电源视在功率,电源电流,分别用相量表示,复功率：,即：复功率等于电压相量与电流相量共轭复相量的乘积。复功率是直接利用电压和电流相量计算的功率。,掌握复功率定义，及其与平均功率、无功功率和视在功率的关系。,可以证明，任意复杂网络中复功率具有守恒性，即各支路发出的复功率代数和等于零：,当计算某一阻抗 所吸收的复功率时，将式 代入得,阻抗为感性时，jX前方为正号，的虚部为正，表示感性无功功率 若为容性，jX前方为负号，的虚部为负，表示容性无功功率,说明：其中实部代数和等于零表明：各电源发出的平均功率之和等于各负载吸收的平均功率之和；而虚部代数和等于零表明：各电源“发出”的无功功率代数和等于各负载“吸收”的无功功率代数和。,复功率具有守恒性,补充6.12 图示电路中IR=8A，IL=4A，IS=10A，XC=10，求电流源提供的复功率及各负载吸收的复功率，并验证复功率守恒性。,电流源发出复功率,R、L、C 分别吸收复功率,图中，求各元件功率，并判断其类型,各元件吸收功率,电源,电阻,感性电源,电容,可见,补充6.13 已知图示电路中负载1和2的平均功率和功率因数分别为 P1=80W、1=0.8（感性）和 P2=30W、2=0.6（容性）。试求各负载的无功功率、视在功率以及两并联负载的总平均功率、无功功率、视在功率和功率因数。,2,1,根据功率守恒计算总有功和总无功：,视在功率和功率因数为：,电压源，内阻抗,负载阻抗 的实部 大于零，且 与 可随意改变，负载阻抗 从给定电源获得最大功率的条件是,注：当负载获得最大功率时,电源内阻和负载电阻消耗的功率相等，电能的利用率只有50%.,基本要求：掌握最大功率传输的概念、最大功率传输定理的条件与结论。,最大功率传输定理：负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时(称为共轭匹配)，负载获得最大功率，此时最大功率为：,2当负载阻抗 的模 可以改变，而阻抗角 不能改变时,负载从给定电源获得最大功率的条件是,负载阻抗模与电源内阻抗模相等。,获得的最大功率为,补充6.14图示电路中电源频率 f=3.18 104kHz，US=1V，内阻RS=125，负载电阻R2=200。为使 R2 获得最大功率，L 和 C 应为多少？求出此最大功率。,解,R2可获得最大功率，此时可解得,(2)图(b)中RL折算到理想变压器的原端为,电源发出最大功率，即,电源发出的最大功率,电源发出最大功率,设图（a）所示电路中电源电压、内阻抗（1）图（a）中负载阻抗 可任意改变，求此电源可发出的最大功率。（2）通过理想变压器接一电阻负载如图（b）所示，问变比 为多少，电源可发出最大功率，求此最大功率。,