周期为2π的周期函数转换为傅里叶级数.ppt

,自然界的许多现象都具有周期性，如心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气的周期性振动产生的声波等等。,内容简介,5.1 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数,一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习,周期函数可表示为f(T+t)=f(t)，T为函数,F(t)的周期。如物理上“正弦振动”或,“简谐振动”的运动方程为,电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波,叠加而成，如下图所示：,三角级数,由正弦或余弦函数组成的无限多项的和，,称为三角级数。它的一般形式为,傅里叶级数,存在，则称它们为函数f(x)的傅里叶系数，由傅里叶系数组成的三角级数,称为傅里叶级数。,收敛定理,的周期函数f(x)满足条件,（狄利克雷充分条件）若周期为,则函数f(x)的傅里叶级数收敛，且,（1）当是连续点时，级数收敛于f(x)；,（2）当是间断点时，级数收敛于,练习1 脉冲矩行波,如右图所示，求此函数的,傅里叶级数展开式。,解,用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:,因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)cosnx是奇函数，,于是，函数f(x)的傅立叶级数展开式为,由收敛定理知函数f(x)在,范围内与级数相等,即,当,此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示,当n分别1,2,3,6取时，傅立叶级数的部分和Sn(x)图形与函数f(x)的方波逼近的情况，类似于本章开始演示的图形,时，傅立叶级数收敛于,练习2 脉冲三角信号,如右图所示，将函数,f(x)展开成傅里叶级数。,解,因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)sinnx是奇函数，,注：从以上几个例子可以得出下面结论：,傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数,傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数,练习3 锯齿脉冲信号,如右图所示，将它展开成,的表达式为,傅里叶级数。,解,函数 f(x)为非奇非偶函数计算傅立叶系数如下,于是，函数 f(x)的傅立叶级数展开式为,