向量范数与矩阵范数的相容性.ppt
,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics,College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书(自选),课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/,授课预计(10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉(正交)变换与正交投影,向量范数与矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2,理解内积空间的标准正交基,会用施密特正交化方法构 造标准正交基;,3,理解正交子空间及其正交补的概念,掌握正交投影的 概念;理解正交变换的概念,熟练掌握正交矩阵的性质;,1,熟练掌握内积的计算方法,知道度量矩阵及其基本性质,理解内积空间的概念;,在矩阵范数中,相容性 尤为重要,那么矩阵范数与向量范数之间有类似的性质?,若 是 上的矩阵范数,是上的向量范数,由于 仍是 上的向量,所以:,设 是 上的矩阵范数,是 上的向量范数。如果对任意的 都有:则称矩阵范数 与向量范数 是相容的,例1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。,证明:设,,例2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。,证明:设,,|A|F 与|x|2 相容的性质反映了|A|F 是像 Ax 的2-范数|Ax|2 与原像 x 的2-范数之比的最大值,即,因此,可以用|A|F来刻画变换A 的结果。,对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数?,任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗?,给定 上的向量范数,定义,则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数,称 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向量范数 的矩阵范数,从属于向量范数的矩阵范数,定理1,定理1表明,由给定的向量范数按照上式定义的实值函数是一种矩阵范数,它与已给的向量范数是相容的。,证明(1)当A为非零矩阵时,一定可以找到非零向量 x,使 Ax0,从而有,即|A|满足正定性;另外,显然|A|=0当且仅当A=0。,(2)对任意的常数kC,,即|A|满足齐次性。,(3)对任意的方阵A,BCnn,,即|A|满足三角不等式。,(4)对任意的方阵A,BCnn,,即|A|满足相容性。,再证|A|与|x|v的相容性。,由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。,定理2:设 是 上的向量范数,则,(1),证(1),(2)显然,由(1)可知,,故有,,例3 证明由n维向量的1-范数,-范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)nn),列模和之最大者:列和范数,为从属于向量2-范数的矩阵范数,也称谱范数。,为A的最大正奇异值。,(3),行模和之最大者:行和范数,证明(1)设A的各列向量为i,即,则,且有,于是,另外,设,并取单位向量,且,即有,即|Ax|1在单位球面 x|x|1=1 上的极大值点为ek,,(2)假设i=k时,取得最大值,即,则对于满足|x|=1的任意n维向量x,有,取x0的第j个分量xj为,则有|x0|=1,且Ax0的第k个分量为,设与之对应的标准正交特征向量为,即有,(3)任取,且|x|2=1,则,作酉阵,则有AHA=UHDU,其中,令,则,由于AHA为Hermite阵且正定,故可设AHA的特征值为,从而有,故得,即,从而证得,因为,所以,又由x的任意性可得,若取 x=u1,则显然有,设 是定义在 上的一种矩阵范数,则在 上必存在与它相容的向量范数,证明:用构造法证明。取定,则 就是 上与 相容的向量范数。首先,证明 是 上的范数:,与矩阵范数相容的向量范数的存在性,三角不等式,3,正定性,2,绝对齐性,再证 与 的相容性,由矩阵范数定义中的第4条,定理3 设A为n阶方阵,则,证明(1)由于,而|A|2为|Ax|2在|x|2=1上的最大值,因此,存在x0,使得,取,故,(2)因为,又由于,且对任意,存在,故,又由于,故有,(3)由矩阵范数定义和(2),有,故有,(4)由(2)和(3),可得,故有,矩阵ACnn的谱半径(A)是,是A的特征值,证明 设为矩阵A的一个特征值,相应的特征向量 为x0,则,定理4 如果|是任意的矩阵范数,且ACnn,则,若|是任意的矩阵范数,则对上式两边同时取范数,,由的任意性,我们有,尽管谱半径不是Cnn中的矩阵范数,但对于每个固定的 ACnn,它是关于A的所有矩阵范数的值的最大下界。,Good,Bye,