同济六版高等数学第一章第六节课件.ppt

一、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件(1)ynxnzn(n=1 2 3),准则 I,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,下页,第一个重要极限,因此 sin x x tan x,简要证明,参看附图 设圆心角AOB=x,下页,注:,这是因为 令u=a(x)则u0 于是,下页,第一个重要极限,例1,解,解,例2,首页,例3 已知圆内接正 n 边形面积为,证:,说明:计算中注意利用,二、准则II及第二个重要极限,注:,如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调增加的 如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列,下页,准则II 单调有界数列必有极限,提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,准则II的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,根据准则II 数列xn必有极限,此极限用e来表示,即,第二个重要极限,e是个无理数 它的值是e=2,下页,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,可以证明,(2)xn3,(1)xnxn+1 nN,下页,第二个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,我们还可以证明,这就是第二个重要极限,根据准则II 数列xn必有极限,此极限用e来表示,即,可以证明,(2)xn3,(1)xnxn+1 nN,第二个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,注:,解,例4,令t=-x 则x 时 t 于是,结束,思考与练习,一 填空题(15),二 P56 4(2)(3)(5),作业 P56 1(5)，(6);2(4);,