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1,华南师大数学科学学院,吴跃忠,2007年11月,数学美学教育价值,2,“虽然数学没有明显的善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这就是数学所研究的原则。所以,数学和美不是没有关系的。”古希腊哲学家亚里斯多德,3,“数学,如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”哲学家、逻辑学家罗素,4,数学之美在于简约严谨，应用一些简单的数学定理把大自然万物的关系描述出来。丘成桐,5,一、美的概念,1.吴高福关于美的概念（1）美是人的本质力量对象化。（2）美是社会实践的产物。（3）美的基本特征：美的事物总是具体的；美的事物总是充满情感的。（4）美的概念：美是社会实践的产物，是显示人的自由创造并体现着人的美好情感和愿望的具体感性形象。,6,1.社会美,社会美的概念：经常表现为各种积极肯定的生活形象。它包括人物、事件、场景、某些劳动过程和劳动产品等的审美形态，是社会实践的直接体现。,7,社会美与善的区别,社会美于善有密切关系，但不同于善。善直接地与功利相联系，集中表现为人的利益和需要；社会美虽以善为前提，但功利的直接性已经消溶在感性的形式中，它成为对人在改造世界的社会实践中的品德、智慧、性格、才能等等的积极肯定。,8,对善的把握主要通过概念来揭示出对象的功利性质或人的道德品质；对社会美的把握则呈现为对生活的形象观照。善是意志的对象，以社会的阶级的道德规范指导人们的行动；社会美则是欣赏的对象，它把善变为个体内在的情感要求合自由的创造活动，因而能引起人们的审美愉悦，具有不同于道德训诫的、潜移默化的功能。,9,社会美的位置,康德：自然美、迎合一般社交乐趣的艺术、天才艺术阿多诺：自然美、通俗艺术（文化工业）、前卫艺术。,10,对社会美的实践观解释,根据马克思主义的实践观建构的美学被视为实践美学。实践美学区分了美和美的根源。所有美的现象的根源都是人类的实践活动，因此所有美在根源上都是社会美。实践美学的困难：作为美的根源的实践劳动仿佛自身不美，如果其自身就美的话，为什么还需要表现美的艺术？如果生产劳动本身就能够提供审美经验或就是审美创造的话，为什么还需要与生产劳动不同的审美方式。美与美的根源的区别，暗含着作为美的根源的实践本身不美。,11,实践本身就能提供审美经验或就是审美创造,造成实践美学的困难在于：实践是同不以人的意志为转移的物质打交道，而审美则是同可以虚拟、服从想像的艺术形象（意象）打交道。用朱光潜的话来说，实践是同“物甲”打交道，审美是同“物乙”打交道。如果实践的对象也是可以虚拟或服从想像的，那么实践与审美就没有本质的区别。新的时代条件下的全面的审美化进程模糊了实践与审美的差异。社会美成为可能。,12,全面的审美化进程（aestheticization processes),外表的审美化经济生活的审美化社会现实的审美化动植物世界的审美化物质世界的审美化伦理生活的审美化,13,社会外观的审美化,化妆表面装饰各种人造景观如城市景观的涌现,14,经济生活的审美化,符号具有价值。科学技术决定产品的质量经济运作决定产品的价格美学决定产品的符号价值消费符号价值已经成为一种普遍的消费方式。生活方式本身也具有符号价值。,15,动植物世界的审美化,基因技术使得动植物世界的审美化成为可能。,16,社会现实的审美化,日益发达的传媒改变了社会现实。社会现实经过传媒的叙事之后被故事化了、审美化了。传媒对人的生活发生了实质性的影响，人们开始模仿传媒的故事将日常生活故事化。,17,物质世界的审美化,新材料技术可以改变物质结构，创造出令人赏心悦目的新物质。,18,伦理生活的审美化,如果现实世界从表到里都可以虚拟化和审美化，那么我们的伦理生活也可以虚拟化和审美化。在全面的审美的时代条件下，理想的人格是自我丰富和自我创造的人格。自我丰富和自我创造不需要也不可能在实际生活中实现，但可以通过语言叙述来实现。理想的人格是批评家（不断占有更多的词汇，因而实现了自我丰富）和诗人（不断创造更新的词汇，因而实现了自我创造）。理想的伦理生活形式：阅读和写作。,19,对全面的审美化的不同反应,以罗蒂为代表的欢呼（人类的彻底解放）。以哈贝马斯为代表的忧虑（对非理性的忧虑）。以威尔什为代表的审慎。,20,对审美化的批判,西方马克思主义的批判：审美化只不过是一种新的、更巧妙的控制形式。在表面的自由和轻松愉快背后隐藏着政治的控制、资本的控制和技术的控制。审美化普遍采取平均美的标准。以美的名义扼杀审美敏感力。,21,2.科学美的概念,（1）科学美的概念：科学美是指自然界本身的美与和谐的特征在理论上的表现，包括理论美与实验美，通常以理论美为主。许多科学家都把科学研究过程当成一种特殊的审美活动。科学未知数的揭秘能使他获得极大的心理满足，以至产生强烈的生理性变化。德国物理学家韦耳有时甚至舍真而取美。,22,（2）科学美的特性：A、抽象概念性；B、理论体系性；C、普遍实用性；3、科学美的标志；A、简洁性；B、新奇性；C、对称性；D、统一性；,23,3.技术美,（1）技术美的概念：技术美即英语国家“迪扎因”理论所研究的美，包括生产环境、劳动过程和劳动产品的美等方面。“迪扎因”即“design”愿意为设计创意，因此，技术美的目的在于“研究物质生产，即工业、建筑、交通、农业以及管理和服务领域的审美因素”。,24,（2）技术美的特性：A、具有技术美特性的产品不仅在技术上是完善的，而且在使用上是舒适的，在外形上是美观的。B、技术美学作为“迪扎因”理论，从功用和审美相统一的观点研究设计和评价的基本原则，使其成为整个美学的一个分支。其宗旨是从科学技术革新和对社会的道德改造、审美改造相结合的观点，揭示和阐明实用对象和环境发展美化的基本规律。,25,（3）影响技术美的因素：A、光线：劳动场所要求对工作目标均匀照明，与背景之间要形成对比，避免光源的闪烁。B、色彩：在实用环境中正确运用色彩，不仅能减轻眼睛疲劳，而且还能带来美观舒适和轻松愉快。C、声音：降低噪音，创造优美的乐境是技术美学的一般原则，通过绿化和涂绿不仅能消除噪音，而且能美化环境；有节奏有规律和谐悦耳的声音，不仅能陶冶情操给人享受，还能消除疲劳。D、节奏：均匀的有规律的动作节奏，可以加快速度减轻疲劳，增强舒适感，从而提高劳动效率。E、姿态：自然、方便及合理的变换姿势，不仅有利于正常的持久的操作，而且能疲劳和职业病。,26,4.自然美,（1）自然美的概念：所谓自然美是指具有审美价值的客观自然界中自然事物或现象本身之美，是自然界原有的感性形 式引起的美感。（2）自然美的特征：自然事物的美，形态多样，是随着人类社会的发展而产生和不断丰富的。它具有与美的其它形态不同的特征。,27,自然风光、园林、盆景等都属于自然审美的范畴。欣赏自然美要掌握一定的技巧。自然界之所以有美，归根结底，是社会的产物，是历史的结果。自然与人类社会生活的客观历史的联系，自然对象在人类社会生活中的作用、地位、意义、价值，是产生 自然美的必要前提,28,二、数学的特征1.简洁美,数学力图用最简单的语言(文字、符号和图形)、概念、理论、方法和逻辑结构去解决困难。解决复杂的问题,简单、清晰、明快、易懂，给人以美感。数学中的所谓美的问题的美的解答，是指一个困难复杂问题的简易回答。(法国哲学家狄德罗语)。简洁性几乎成了数学的一种目标.为了避免重复的加法运算,乘法产生了,而乘方则是乘法的又一次简化；,29,正是对欧几里得第五公设简明性的不满意,引发了几何的一场革命；五个公设：（1）给定两点可以连结一线段。（2）线段可无限延长。（3）给定一点为中心和通过任意另一点可以作一圆。（4）所有直角都相等。（5）如一条直线与两条直线相交，并且在同侧所交出的两内角之和小于两个直角，则这两条直线无限延长后必在该侧相交。,30,几何原本的定义（共有23个）（1）点没有大小。（2）线有长度而没有宽度。（3）线的界是点。（4）面只有长度和宽度。（5）面的界是线。,31,当代高新科技的标志电脑采用的二进制,则是简到只用0和1来表示所有的数字、语言文字.这个式子集简洁、和谐、奇异等美学要素于一身,相去甚远的7个数学符号,简洁地统一在一个式子中.数学的简洁美决不是指简易、单薄、初等,而是要用简单的原理、公式概括大量的事实,这种简单同时显得深远,显出科学理论之美.这清楚地表明:“对简洁美的追求导致了数学、科学和文化的巨大进步.”,32,例1:数学上有一道著名的“猎狗问题”:甲、乙两猎人分别从A、B两地同时出发,相向而行，甲的身边带着一只猎狗,出发时猎狗跑向乙,途中遇乙即转而跑向甲,遇甲后又转而跑向乙，已知A、B两地相距50公里，甲每小时走3公里，乙每小时走2公里，猎狗每小时跑5公里。当甲、乙和狗都碰到一起时，问狗一共跑了多少公里?,33,这道题如按常规解法要分别求出狗每次和甲、乙相遇时跑过的各段路程,再把各段路程加起来，这样既困难又复杂。如果考虑到在甲、乙行走时同时狗也不停地跑，所以相遇时人所用的时间等于狗来回奔跑所用的总时间，即50（3+2）=10小时,则狗一共跑了5 10=50公里路。这种解法简洁、巧妙。,34,2.对称美,对称美既相对、又相称的事物给人以美感.如:几何中的中心对称、轴对称、镜像对称;代数中多项式方程虚根的成对出现，线性方程组的矩阵表示和克莱姆法则等都呈现着对称性。数学中对对称美直接给出了几何概念(包括双侧、旋转和平移的对称),并且还抓住对称的本质对等性，将一个领域的认识，转移到其对等的另一个领域。,35,如从数、式到图形，从加法、乘法、微分到相应的减法、除法、积分，从行列式到矩阵，直到现代元素结构的自相变换群下的不变性等等。不但丰富了对称的认识,而且透过美感所形成的“对等转移”方法,大大加快了认知的速度,对其他学科和文化起着方法论的作用.,36,(1)对称美的理解,“黄金分割”揭示了线段比例关系中的和谐性。问题：A 为什么当气温23度左右时人们会感到舒适?B 为什么多数报幕员报幕时不站在舞台中央，而是站的位置偏一些呢?他站在什么位置最合适?C 你认为身体下肢与整个身长之比是多少时身段最优美?D 在当今流行的许多服饰中,采用的恰恰是非对称,为什么也能给人以美的感受?学生对这些问题感到好奇,从而激起学习兴趣。,37,请分析这里与数学的“对称美”有何关系：,38,39,40,3.统一美,统一美在多种多样中求得一致,于部分和整体间实现和谐,这样的美感在数学中表现得淋漓尽致:在初等数学中,在计算柱体、锥体和台体等不同形状几何体体积时有统一公式;有椭圆、双曲线和抛物线统一的极坐标方程,41,有7个几乎不相干的数学符号的统一体在高等数学中,各种彼此完全不同的函数，在一定条件下，居然都能表示为一个统一的泰勒公式；而集合论则可以将绝大部分的数学内容集中到其麾下，可以断言多样与统一的辩证关系乃是数学以至其他科学发展一个基本规律。,42,4.奇异美,奇异美奇异的东西能给人以美感；奇异之极是极美.“没有一个极美的东西不是在和谐中有着某些奇异.”(英国哲学家培根语)处处连续处处可微的函数、皮亚诺曲线等，就象珍奇的艺术品让人感到美.这种美感既是自然界和社会中独特、新奇的事物在数学中的反映,又具有旧观念崩溃、新知识突现的内涵.发现奇异、大胆创新,善于从悖向进行思维分析，这往往成为数学上重大突破的契机.,43,著名的斐波那契数列其独特的外形美引入注目,又与黄金数0.618、勾股定理关系密切,演变出一系列奇妙的性质,令人神往,成为数学文化的一段佳话.特别是哥德尔不完备性定理(相容性和完备性是两个不能同时实现的目标),完全有悖于人们长期形成的观念.而恰恰是这个奇异的定理,使人们认识了数学的局限性,勇敢地去开创数学的新天地,其作用实在是石破天惊。,44,哥德尔第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题；即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证的。哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。,45,如在学习指数与对数时,教师提出这样一个问题:一张纸厚度约为0.083mm,对折三次厚度还不足1mm,如对折30次,你能否估计它的厚度(算式是0.0832230)?当教师说出它的厚度相当于10座珠穆朗玛峰的高度时,学生会对结论的奇异感到惊讶和不可思议,从而引起学生学习指数与对数运算方法的好奇心。,46,5.和谐美,47,分析:从整体观察,已知的四个方程井然有序,给人以和谐的美。凭直觉能预感到,如果贸然通分,分别求得x2、y2、z2、w2就会破坏这种美的形式,势必运算浩繁。但从整体观察我们发现,22、42、62、82这四个数可以看成是关于t的方程的四个根：,48,49,例2 在三角形ABC中，求证,50,例3,51,52,53,数学美具有科学美的一切特性,数学不仅具有逻辑美,更具有奇异美;不仅内容美,而且形式美;不仅思想美,而且方法美、技巧美,简洁、匀称、和谐,到处可见.从文化的角度来看,数学美是人类一种理性的审美心智活动,在更高的层次和更丰富的内涵上发展了美的文化.,54,四、数学美学层次,论述数学美的文章很多。但是，如何在课堂上展现数学美，培养学生欣赏数学的美学价值呢？似乎触及得很少。我们认为，数学教学中的美学教育有以下四个层次：美观、美好、美妙、完美。,55,让我们依次加以解释。第一个层次是美观。这主要是外观上的对称与和谐。例如，圆是对称图形，美观，匀称。正三角形、五角星等常用的几何图形都因对称而受到人们喜爱。,56,数学教学中的美观认识，在算术、代数科目里也有反映。我们经常看到一些和谐的数学公式：于是，许多学生就很习惯地认为,57,的确，这一运算是何等的“和谐”、“对称”、“美观”啊！所以说，犯这种错误的学生，其实是从美学观点出发的一种本性。“爱美之心，人皆有之”，我们实在不应该太多地责备这样做的孩子。相反，我们还要鼓励他们，美观的东西不一不定都是好东西。例如，罂粟花虽然美丽但是有毒，金玉其外可能败絮其中。光靠美观，不足以学习数学。再如，（a+b）2=a2+b2，看起来也是和谐一致，美观得很。但是也是错的。,58,第二个层次是美好。数学上有许多东西，只有感到其“美好”，才会是正确的。犹如一个人，只要内心是美好的，尽管外表不十分靓丽，但仍然给人以美好的印象。数学中也是如此。一个突出的例子是一元二次方程的公式：,59,这一公式无论从哪一方面看，都不对称，不和谐，不美观。但是，当我们了解它，运用它，欣赏它，就会感到它的美好。这一个公式会告诉我们许多信息，表示有两个根，a在分母上必须a0，根号里的判别式，会显示根的数目，以及方程的性质。所以，当你和它熟悉了，就会觉得它虽然难看些，却是美好的公式。正如巴黎圣母院中的卡西摩多，外表丑陋，内心却是美好的。,60,第三层次是美妙。数学中的许多定理，会有一种令人震撼的美妙感觉。例如最简单的勾股定理a2+b2=c2，结论如此简单，和谐，美好。但是，当你深入思考时，给出它的几十上百种证明时，才会觉得它的伟大深刻。,61,人们把它作为和外星人进行沟通的图案和公式，就传达了人们的一种心情。再如，三角形有三条高，三条中线，三条角平分线都交于一点，真是妙极了。一般教学时，先不告诉学生结果，让学生自己作图，自己发现这些一下子看不出来的“真理”。,62,发现真理令人心仪，顺便说说，要发现真理，以发现数学真理最为“便宜”，在纸上画画就能发现，不必依赖实验条件，测量工具，化学药品等。每个学习数学的人，都感受过那样的时刻：一条辅助线使无从着手的几何题豁然开朗，一个技巧使不等式证明获得通过，一个特定的“关系映射反演”方法使原本不相干的问题得到解决。这时的快乐与兴奋是难以用言语来形容的。只有用一个“妙”字来描绘心中的感受。,63,第四个层次是完美。数学总是要做到完美无缺。大的方面看，欧氏平面几何公理体系的构建，数学家证明费马定理经历了300余年的努力，陈景润对哥德巴赫猜想的苦苦追求，都是追求“数学完美”的典型事例。从小的方面说，我们做一个题目，不是只找到一个解就算完，而是找出所有解。,64,证明了锐角三角形的情况，还必须推广到直角三角形、钝角三角形的情况。进行分类讨论，必须不重不漏，完美无缺等都是“完美”的追求。追求完美的数学境界，是数学思维的一个特点。我们运用数学的美学教育功能，就会使人的思想得到升华，思维品质得到提高，创新精神得到发扬。,