北邮概率统计课件1.5条件概率.ppt

2023/9/6,北邮概率统计课件,一条 件 概 率,某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有100人为疑似病人，有10人为非典病人，其中 5人为由疑似病人转为非典病人。求:该地区由疑似病人转为非典病人的概率,第 五节 条 件 概 率,引例1,解:,设 事件 A=非典病人，,事件 B=疑似病人,则此时 S=1,2,.,10000,显然：,这是没有附加条件的概率（无条件概率）,（千分之一）,(1)若求 P(A),2023/9/6,北邮概率统计课件,（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p,这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，,则此时不妨设 S=1,2,.,100，,由题意可得：,这是附加了条件 B 的概率（有条件概率）,此题的结论：,该地区由疑似病人转为非典病人的概率为 5%，要比没有附加“疑似病人”时的概率大50倍。,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于现在已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间。,在10000个人中：100个疑似病人，10个非典病人5个由疑似病人转为非典病人,2023/9/6,北邮概率统计课件,引例 2.10件产品中有7 件正品，3 件次品，7 件正品 中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任 取一件，,B=取到正品,记:A=取到一等品，,P(A|B),注:本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.计算P(A|B)时，这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,2023/9/6,北邮概率统计课件,提出三个问题：,对于一般具有附加条件的概率问题 是否也一定具有引例中的表达形式？,由条件概率的概念是否可以得出两 个事件乘积的概率？,无条件概率 P(A)、条件概率 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？,2023/9/6,北邮概率统计课件,1.定义：设 A,B是两个事件,则称 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率,其中,条件概率符合概率定义中的三个条件：,对每个事件 B,有:,设有 是两两互不相容的,则有,非负性,规范性,可列可加性,2023/9/6,北邮概率统计课件,2性质,在第三节中概率的性质1 性质 5 对条件概率都成立,其它相关的性质请见常用的有：,1)用定义计算:,P(B)0,2023/9/6,北邮概率统计课件,2)从加入条件后改变了的情况去计算:,则:P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,比如：,2023/9/6,北邮概率统计课件,求：,-36 种,-3 种,解：依题意,样本空间,-15种,例1,2023/9/6,北邮概率统计课件,在样本空间 S 中计算 P(B),P(AB)然后依 公式 计算,从而:,方法 1:,2023/9/6,北邮概率统计课件,在缩减的样本空间 或 中计算A或B出 现的概率就可得所求的条件概率(这种方法 适合简单的问题),在缩减的样本空间 中看：A中有3个基本事件,其中只有(6,4)是B中包含的基本事件,故有:,在缩减的样本空间 中看：B中有15个基本事件,故有:,方法2：,2023/9/6,北邮概率统计课件,由条件概率的定义：,二.乘法原理,若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,设 P(B)0 或 P(A)0，则:,注：乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：,其中:P(AB)0,即有：,定理1：,2023/9/6,北邮概率统计课件,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是 乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标 准件，现从这1000个零件中任取一个，问:(1)这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？(2)发现它是乙厂生产的,则它是标准件的概率是 多少？,则:(1)所求的问题 P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,300个乙厂生产,B=零件是乙厂生产,A=是标准件,(2)所求的问题 P(A|B),解:若设:,例2不讲,2023/9/6,北邮概率统计课件,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为 0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多 少？,设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为 P(B|A).,例3,解：,2023/9/6,北邮概率统计课件,无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B)及 P(AB)的区别,归 纳,2023/9/6,北邮概率统计课件,一个罐子中包含b 个白球和 r 个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次试求：第一、二次取到白球且第 三、四次取到红球的概率.,例 4 波里亚罐子模型,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进C 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解:设Wi=第 i 次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第 j 次取出是红球，j=1,2,3,4,2023/9/6,北邮概率统计课件,用乘法公式容易求出：,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3),P(W1W2 R3 R4),于是：W1W2 R3 R4 表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球.”,2023/9/6,北邮概率统计课件,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。,5 张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽取,例5.,问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗?,2023/9/6,北邮概率统计课件,到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到 入场券 的机会都一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,2023/9/6,北邮概率统计课件,设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然：P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则：表示“第 i 个人未抽到入场券”,因为若第2个人 抽到了入场券，则第1个人肯定 没抽到.,由于：,所以由乘法公式：,计算得:,2023/9/6,北邮概率统计课件,这就是有关抽签顺序问题的正确解答:,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2 个人都没有抽到.因此：,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的 概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,由乘法公式,2023/9/6,北邮概率统计课件,箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优 名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶,问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?,解：设,例 6,2023/9/6,北邮概率统计课件,显然,所求事件的概率为：,从而：,而：,10瓶名酒，其中 部优7瓶，国优3瓶，第一人拿到两瓶 优名酒同时第二 人拿到部 优、国 优名酒各一瓶,第 三个拿到两瓶国优名酒,2023/9/6,北邮概率统计课件,例7设某光学仪器厂制照的透镜,第一次落下时 打破的概率为，若第一次落下时未打破,第 二次落下破的概率为,若前两次落下未打 破,第三次打破的概率为,试求：透镜落下三次未打破的概率。,解：设,解法1.,因为：,所以有：,2023/9/6,北邮概率统计课件,解法2.,2023/9/6,北邮概率统计课件,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,三.全概率公式和贝叶斯公式,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,2023/9/6,北邮概率统计课件,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求:取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,即:B=A1B+A2B+A3B，且:A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式,引例,注意到：,2023/9/6,北邮概率统计课件,将此引例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的 全概率公式.,对求和中的每一项运用乘法公式得,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,2023/9/6,北邮概率统计课件,注：S 的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间.,1样本空间的划分,定义：,2023/9/6,北邮概率统计课件,E的一组事件,是S的一个划分或 构成了互斥事件完备组,E的另一组事件,就不是S的一各划分，或 构不成一个互斥事件完备组。,对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：,比如：,2023/9/6,北邮概率统计课件,证明：,称为全概率公式,2.全概率公式,定理2,2023/9/6,北邮概率统计课件,全概率公式关键抓住寻找S的一个划分或寻 找一个互斥事件完备组(这里事件 是导致事件A发生的一组原因,而事件A的出 现只能与 中之一同时出现)。,注：,2023/9/6,北邮概率统计课件,每一原因都可能导致 B发生，故 B发 生的概率是各原因引起 B发生概率的 总和即为全概率公式.,全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件概 率”的问题。即P(A)不易求,但却很容易找到S 的一个划分时用全概率公式比较方便,2023/9/6,北邮概率统计课件,设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个 白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入 乙袋中,再从乙袋中任取一球。,求：从乙球中取得白球的概率。,设A：从乙袋中取得白球,取球只有两种情况，要么白球要么红球,所以设：,例8,解：,因为:,2023/9/6,北邮概率统计课件,显然：,构成一个互斥事件完备组,例9.,2023/9/6,北邮概率统计课件,因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：,从而：,解：,取出的一件是次品,显然:,四条流水线产量(率):15%,20%,25%,40%四条流水线次品(率):0.01,0.02,0.03,0.025,2023/9/6,北邮概率统计课件,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求:飞机被击落的概率.,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A0B+A1B+A2B+A3B,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中,i=0,1,2,3,解:,为求P(Ai),例 10.,设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,由全概率公式：,2023/9/6,北邮概率统计课件,可求得:,P(A0)=0;P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),即飞机被击落的概率为 0.458.,将数据代入计算得:,于是：,2023/9/6,北邮概率统计课件,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,引例 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,2023/9/6,北邮概率统计课件,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球。,求：该球是取自1号箱的概率,引例,2023/9/6,北邮概率统计课件,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,求:P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到：,贝叶斯公式,2023/9/6,北邮概率统计课件,3贝叶斯公式(逆概公式),设试验 E 的样本空间为 S,A为 E 的事件,称为贝叶斯(Bayes)公式,证明：略.,贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用,值得一提的是，后来的学者依据 贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”（这也足可见贝叶斯公式的影响）,定理3,则:,2023/9/6,北邮概率统计课件,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和 P(Ai|B)分别称为原因的 先验概率和后验概率.,P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率”,注:,2023/9/6,北邮概率统计课件,在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为:,比如，原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯。,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后,这个估计就有了变化。,P(A1|B),知道B发生后,P(A2|B),P(A3|B),2023/9/6,北邮概率统计课件,例11在例 9 中已知任取一件产品是次品,问：此次品出自哪条的流水线的可能性大?,解：,出自第四条流水线可能性大,2023/9/6,北邮概率统计课件,某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种 试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种 试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个 人，试验反应是阳性。,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知:P(C)=0.005，P()=0.995,P(A|C)=0.95，P(A|)=0.04,解:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,此例即为求 P(C|A),例 12.,问：此人是癌症患者的概率有多大?,2023/9/6,北邮概率统计课件,现在来分析一下结果的意义:,由贝叶斯公式，可得:,P(CA)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,代入数据计算得：,2023/9/6,北邮概率统计课件,如果不做试验，抽查一人,他是患者的概率:,患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为:,这说明：这种试验对于诊断一个人 是否患有癌症是有意义的,从0.005 增加到 0.1066，将近增加约 21 倍。,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,P(CA)=0.1066,P(C)=0.005,分析问题1.,2023/9/6,北邮概率统计课件,检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为:,可见:即使一个人检验出阳性，尚可不必过早下结 论此人确患有癌症，因为这种可能性只有 10.66%(平均来说，1000个人中大约只有 107人确患癌症)，此时医生常要通过再试 验来确认。,分析问题2.,P(CA)=0.1066,