动力学普遍定理(动能定理).ppt

1,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,动力学普遍定理引言,关于上次内容的问题：,1.动力学的抽象模型是什么？,2.什么是质点运动微分方程？与牛二定律有何关系？适用范围是什么？,3.叙述你知道的动力学普遍定理（三大定理）。可解决任何动力学问题吗？,物理中主要针对质点和转动刚体而言，而众多的问题是具有任意运动的物体系的动力学问题，特别是含平面运动物体的物体系问题。,仅对质点,引入新概念，建立新理论不仅适于质点，还适于质点系：,注：这种推导仅为方便和使理论系统化，力学史上并非如此顺序。事实上，三大定理是单独发现的，且早于牛顿第二定律；仅适于惯性参考系。,动能定理 动能 功,动量定理 动量 冲量（力）,动量矩定理 动量矩 冲量矩（力矩）,2,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,动能定理：动能2 动能1 功,问题：动能与功如何求？对任意质点系和力（矩、偶）,本部分内容：12-1 动能 12-2 功 12-3 动能定理（质点质点系）12-4 功率 功率方程（简介）12-5 势力场 势能 机械能守恒定律（自学）,12.1 动能,动能：描述物体（整体）机械运动强度的量。,以下一四提问。,一、质点,二、质点系,三、平动刚体,四、转动刚体,3,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,五、柯尼希定理“动能的合成”,对任意质点系，选动系为随质心平动的坐标系，应用速度合成定理，易证：,相对动系（质心）之相对动能,质系动能,随动系（质心）平动动能,+,“绝对动能”“牵连动能”“相对动能”,问题：对质点系任意一点A，可写上述动能表达式吗？,六、平面运动刚体,由上述定理，立即得：,质系动能 随质心平动动能 相对质心之转动动能,可证，对瞬心C：,以上为求平面运动刚体动能的两种方法。,4,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,12.2 功,功：力（力偶）在位移上的累积效应。,一、功的一般表达式（提问）,元功：,功：,直角坐标系下：,二、几种常见力的功（以下14提问。）,1.常力：,2.重力：,注：仅仅表示元功，既非变分，也不一定为全微分,5,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,3.弹性力：,弹簧初、末时变形。,4.万有引力：,其中c为引力常数，为二星体质心间初、末时距离。,5.摩擦力的功：,讨论：静滑动摩擦力作功吗？举例。,注：对扭转弹簧，亦如此。,动滑动摩擦力作功吗？若是，恒为负吗？（如书p214所说）。举例。,6,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,6.力偶与力矩的功：,力偶：,力矩：,注：力偶作用的刚体可在平面内作任意运动。,注：仅限于定轴转动刚体。,7.平面运动刚体上力的（元）功：,除了由定义来求功，利用力的平移定理 或点的运动合成，通常有两种方法常用：,将力向质心平移,将力向瞬心平移（仅对求元功较方便）,7,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,三、力系的功,功是标量，故,四、质点系内力的功,提问：内力作功吗？,当为刚体（或几何不变体系）时，内力的功为零。否则不为零，如系统中有弹簧时。,8,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,五、约束力的功,提问：约束力作功吗？,在一定意义下，约束力不作功，这给我们分析解决问题带来很大方便。,看一下吧：,柔性体约束,光滑面约束,铰链约束,中间铰链,链杆约束,固定端约束,理想约束,9,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,12.3 动能定理,一、质点的动能定理,牛二定律,二、质点系的动能定理,将质点系受力按主动力和约束力分，当为理想约束时，对上面二式求和，有,微分形式：,积分形式：,问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？,主动力、位移、速度、加速度,解题步骤：,(一)取研究对象（一般为整体，且不去约束，即不取分离体）；,(二)画图（受力图只画主动力，理想约束不做功；运动图）；,(三)列解方程。,10,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,例12-1 典型例题，详讲。,图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重物重量P。求滚子质心C的加速度aC。,以下四个例题均非常好。,分析：考虑整体。动能定理有两种形式：积分式和微分式。积分式显含速度，若求加速度，需考虑从初始位置到任意位置，列方程对时间求导；,微分式显含速度微分，两边除以dt，即得加速度，但应考虑在任意位置列方程。,一般来讲，积分式容易理解，首先考虑用积分式求解。,11,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,解：设系统从初始到任意位置，重物上升s。画出所有主动力和相关运动量，如图。,设初始动能：T0=0,任意位置动能：,所有主动力做功：,对t 求导：,12,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,另解（微分式）：考虑系统在任意位置，系统有微小位移ds，画出所有主动力和相关运动量，如图。,微分形式动能定理：,(1),任意位置动能：,所有主动力做元功：,13,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,代入(1)式，得,两边除以dt，得,总结：应用积分式动能定理求加速度时，需要考虑从初始位置到任意位置这一有限过程（大过程）；应用微分式动能定理求加速度时，需要在任意位置考虑一无限小过程（小过程），其中dT由对动能T求微分得到。,14,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,例12-2 需用到较多运动分析，稍难。,图示椭圆机构在铅直面内运动。OC、AB为均质杆，OC=AC=BC=l，OC重P，AB重2P，AB受一常力偶M，在图示位置，=30，系统由静止开始运动，求当A运动到O时A的速度vA。滑块质量不计，C为铰链。,分析：本题求速度，显然用动能定理的积分形式，考虑从初时位置（=30）到末时位置（=90）。,解：设系统从初时到末时位置。画出所有主动力和相关运动量，如图。,初时动能：T1=0,15,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,末时动能：,由OC、AB方位角相等，知,由B点运动规律知，B在最高点时速度为0，即AB铅直时B为瞬心。则,则系统在末时动能：,16,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,所有主动力做功：,由动能定理,得,17,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,例12-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。,均质细杆AB长l=1.0m，重Q=30N，上端靠在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆柱中心相连，圆柱重P=20N，半径R=0.4m，沿水平面纯滚动。（1）当=45，若系统由静止开始运动，求此时A点的加速度；（2）在该位置，若A点以速度vA=1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。,分析：本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置）的加速度。能否在此位置应用微分形式的动能定理？,事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（）的加速度，再求初瞬时加速度（将=45代入）。,书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。,18,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,解：(1)设系统从初始=45到任意位置。画出所有主动力和相关运动量，如图。,初始动能：T0=0,任意位置动能：（H为杆瞬心，D为滚子瞬心）,对杆：,(a),而,对滚子：,代入(a)式得：,19,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,主动力只有Q做功：,对t求导，并注意,(b),动能定理：,得,(c),将=45和vA=0代入上式，得,20,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,例12-4 用动能定理建振动方程。,图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q，半径为R，沿水平面纯滚动，弹簧常数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，滑轮D质量不计，绳不可伸长。试建立物块A的运动微分方程，并求其运动规律。,(2)将=45和vA=1 m/s代入(c)式，得,分析：建立物块A的运动微分方程，即写关于y的微分方程，即求物块A的加速度。两种形式的动能定理应该均可用。但此题需求弹簧力做功。,21,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,解：（积分式）设系统从初始到任意位置。建立坐标系，并画出所有主动力和相关运动量，如图。,初始动能：T0=0,任意位置动能：,由运动关系：,则：,主动力做功：（注意yB=y),22,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,动能定理：,对t求导，并注意,通常再写成标准形式：,并作坐标变换：,即标准的无阻尼振动微分方程。x为从静平衡位置开始的坐标，固有频率：,请你在图中标出x,23,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,方程(1)的通解为简谐运动：,A为振幅；为初相位角。二者与初始条件有关。(0t+)为相位角。,以y坐标表示的运动规律：,另解：（微分式）系统在任意位置。建立坐标系，并画出所有主动力和相关运动量，如图。,任意位置动能：,24,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,主动力的元功：（注意dyB=dy),微分形式动能定理：,(1),两边除以dt，注意，得,作坐标变换：,通解：,以y坐标表示的运动规律：,式中,作业：12-15,16，19，21,25,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,12.4 功率 功率方程,功率方程实际是动能定理（微分形式）用功率表示的另一形式。主要用于计算机械效率，一般不直接用于求解普通动力学问题。,一、功率,二、功率方程,动能定理,功率方程,定义：,对力：,对力偶：,26,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,12.5 势力场 势能 机械能守恒定律,物理中讲述较多，故略讲。,一、势力场,力场质点在空间任意位置都受到一个大小、方向确定的力作用，该空间称为力场。,势力场或保守力场质点在力场中运动时，力对质点所作的功仅与起始位置有关，而与路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场；其力称为有势力或势力或保守力；势力场中的振动系统称为保守系统。,势力场的性质：,提问：常见的保守力场有哪些？,27,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,二、势能 势能函数,在势力场中，质点由某一位置M 运动到选定的参考点M0（0势能位置）的过程中，有势力所作的功称为质点在M 位置的势能：,注意势能为从某点M到参考点M0势力所作的功。如果选定M0为起始点，M为终点，则应用动能定理求势力做功，与应用机械能守恒求势能时，二者相差一负号。如弹性力场：,在动能定理 中求弹性力的功：,在机械能守恒定律 中求势能：,由于势能仅与质点的位置有关，故是质点坐标的单值连续函数，故又称为势能函数（势函数），记为V(x,y,z)。,易知势力与势能的关系：,28,第三篇 动力学 第12章 动力学普遍定理（动能定理）,下次课预习：动量定理、质心运动定理,三、机械能守恒定律动能定理的另外形式,用机械能守恒定律重新求解例12-1。（自己练习）,