定积分的几何应用 和经济应用.ppt

第五章 第六节 定积分的几何应用,（一）平面图形的面积,直角坐标情形,2.极坐标方程的情形,（二）旋转体的体积,回顾：基本积分公式,直角坐标情形,回顾,曲边梯形求面积的问题,面积表示为定积分的步骤如下:,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,注意：,仿此可得图1的面积：,A,y,x=f(y),图2的面积：,（图1）,（图2）,上曲线减下曲线对x积分。,y+dy,x+dx,（图3）的面积：,x,y=f(x),（图3）,（图4）的面积：,A,x=f(y),（图5）,x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤：,（1）画草图，定结构；,（2）解必要的交点，定积分限；,（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。,注意：答案永远为正。,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,先求两曲线的交点。,解法2,选 为积分变量,显然解法2简单！选择合适的积分变量是重要的。,解,设椭圆方程为,由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍,以x为积分变量，得,曲边扇形面积微元,曲边扇形的面积公式,2.极坐标方程的情形,解,由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。,解,利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,旋转体的体积公式,推导,解,直线 方程为,如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。,求椭圆 分别绕 轴与 轴旋转而成的旋转体的体积。,例7,解,（1）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：,（2）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：,特别地，当 时，得半径为 的球体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,三、平行截面面积已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,作 业,P171.1.（1）（2）4 5.（1）6,一、由边际函数求原函数,二、由变化率求总量,三、收益流的现值和将来值（次要）,第七节 定积分的经济应用,一、由边际函数求原函数,解,二、由变化率求总量,例2 某工厂生产某商品在时刻 的总产量变化率为(单位/小时)。求由 到 这两小时的总产量。,解,三、收益流的现值和将来值,收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流。,收益流量 收益流对时间的变化率。,若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现在存入银行，t年后的价值（将来值）,若有一笔收益流的收益流量为（元/年），考虑从现在开始 到 年后这一时间段的将来值和现值。（以连续复利率计息）,分析 在区间 内任取一小区间，在 内所获得的金额近似为,从 开始,这一金额是在 年后的将来获得,因此在 内,收益现值,总现值,对于将来值,在 年后获得利息,从而在 内,收益流的将来值,故,总的将来值,例3 假设以年连续复利率 0.1 计息,求收益流量为 100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.,解,现值,将来值,