分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理).ppt
第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布列,第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）,一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完 成这件事共有N 种不同的方法,mn,二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法,mn,在解题过程中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?,提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类加法计数原理;如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分步乘法计数原理.,1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题 班会，则不同的选法为()A6种B5种 C3种 D2种,解析：有325种,答案：B,2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的 一个小组，则不同的报名方法共有()A10种 B20种 C25种 D32种,解析：有2222232种,答案：D,3从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四 个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览 一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不 同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种,解析：能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次有5个、4个、3个人，所以不同的选择方案有4543240(种),答案：B,4某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2 816)的方 法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有_个,解析：由于千位、百位确定下来后，十位、个位就随之确定，则只需考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有1010100个,答案：100,5.将1,2,3，9这9个数填在右表中的9个空格 中，要求每一行从左到右，每一列从上到 下依次增大，当3和4固定在表中所示的位 置时，所填写空格的方法有_种,解析：本题考查计数原理的应用注意正确的分步和分类；由题意第一列第一个和第二个格只能填1,2，第三个格可以填5,6,7三个中的一个，若填5，则第二列第三个格可以填6或7或8，其他格的填法相应唯一确定，若第一列第三个格填6，第二列第三个格可以填7或8，其他格的填法相应唯一确定；若第一列第三个格填7，其他格的填法相应唯一确定，故共有3216种填法,答案：6,1分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法采取 的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一 类中的每一种方法都可以独立完成这件事2解决这类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不 漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题,在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,对个位数字进行分类或对十位数字分类.,【解】法一：根据题意，将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：8765432136(个)故共有36个,法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836(个),1在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？,解：分类：121091100种,应用分步乘法计数原理要注意两点(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几 步才能完成这件事；(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成,已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？,本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用.这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第（3）问用逆向求解的间接法.,【解】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是326.(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个),2已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，c M，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次 函数,解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数,应用两个原理的注意事项(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需 要分步进行(2)分类时要做到不重不漏(3)对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用,(2009广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A48种B12种C18种 D36种,分类中含分步，可分两类.,【解析】分两类：(1)若小张和小赵恰有1人入选则共有22624种方案(2)若小张和小赵两人都入选则有32212种，故共有241236种方案,【答案】D,3(2010皖北联考)用三种不同的颜色填涂下图33方格中 的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则 不同的填涂方法种数共有()A48 B24 C12 D6,解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有 6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有 2种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步相乘原理可知共有6212种涂法,答案：C,分类计数原理与分步计数原理是排列组合的基础，重点考查分类讨论思想的应用，对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现.2009年湖北高考主要考查了乘法原理的应用.,(2009湖北高考)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24C30 D36,解析法一：由题意每班至少分到一名学生，即三个班中有一个班必有两人，而甲、乙不能到同一个班，故四名学生的组合可能有(甲、丙)(甲、丁)(乙、丙)(乙、丁)(丙、丁)5种，然后再分到三个班共有6种分法共有5630种,法二：(排除法)先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有6种方法，再将三组同学分配到三个班级有6种分配法，再考虑甲、乙同班的分配方法有6种，故共有66630种,答案C,本题易错解为：先将甲、乙分到两个不同班级共有A种方法，再从丙、丁中选择一人到第三个班级有2种方法，最后剩余一人从三个班级中任选一个班级有3种方法，利用乘法原理得62336，选D.其错因主要是分步考虑时标准不确定，造成了丙丁同在一个班级的情况重复出现，导致错误同学们思考一下若将甲、乙、丙、丁四名学生分到四个不同的班级，每班一人，其中甲不能分到一班，则分法的种数是多少？,
