信息论与编码-第六章.ppt
信息论与编码-最优译码和最大似然译码,最优译码和最大似然译码信道的输入是一个二（或q）进制序列，而译码器的输出时一个信息序列M的估值序列。如下图所示。译码器的基本任务就是根据一套译码规则，由接收序列R给出与发送的信息序列最接近（最好是相同）的估值序列,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,信道,纠错编码器,纠错译码器,干扰源,信源编码器输出,至信宿,分组码数字通信模型,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,由于M与码字C之间存在一一对应关系，所以这等价于译码其根据R产生一个C的估值序列，显然，当且仅当 时，。这时译码器正确译码。如果，则译码器产生错误译码。当给定接收序列R时，译码器的条件译码错误概率定义为,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,所以译码器的错误译码概率为其中，是接收R的概率，与译码方法无关，译码错误概率最小的最佳译码规则是使 最小，即,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,而因此，如果译码器对输入的R，能在 个码字中选择一个使 最大的码字 作为C的估值序列，即 则这种译码规则一定能使译码器输出错误概率最小，称这种译码规则为最大后验概率译码MAP(maximum aposteriori),也叫做最佳译码。是一种通过经验与归纳由收码推测发码的方法，是最优的译码方法。,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,由贝叶斯公式可知，如果发送端发送每一个码字的概率 均相同,且p(R)对所有R也相等（信道对称均衡），则有,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,一个译码器如果能选择 即在已知r的情况下使先验概率最大，则这种译码规则称为最大似然译码（MLD：Maximum Likelihood)，称为似然函数。相应的译码器称为最大似然译码器。,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,由于logx与x是单调关系，因此最大似然规则也可以写成称logp(R/C)为对数似然函数。,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,对于DMC信道，如果发送端发送每一个码字的概率 相等，则一般可认为MLD就是译码错误概率最小的一种最佳译码规则。由于最佳译码要求知道后验概率p(R/C)，这在很多时候是很困难的，所以经常使用的是最大似然译码，在很多情况下，可以认为最大似然译码就是最佳译码。,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,对于BSC信道，在译码的时候，如果我们逐比特地比较发码和收码，就只有两种可能性：相同或者不同，其概率分别是：,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,如果R中有d个码元与 不同，我们称R和 之间的距离为d，这样定义的距离称为汉明距离。接收码字R和发送码字 之间的汉明距离，就是二者模2加后的重量，即,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,此时的似然函数是因为上述似然函数中 是常数，可以看出，d越大，则似然函数越小，因此，求最大似然函数问题就变成了求最小汉明距离问题。,信息论与编码-最优译码和最大似然译码,汉明距离译码是一种硬判决译码。只要在接收端将接收码R与所有可能的发码逐比特进行比较，选择其中汉明距离最小的码字作为译码结果就可以了。当发送的码字互相统计独立且等概时，汉明距离译码就是最佳译码。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,码距与检错、纠错能力的关系码距：在随机编码中，我们曾说过，一个码字可以看作是N维矢量空间的一个点，全部码字所对应的点集合构成矢量空间的一个子集。子集的任意两点之间都存在一定的距离，这个距离叫做码字之间的码距。子集任意两点之间的码距的最小值记为。欧氏距、汉明距,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,检错能力：如果信道传输无误，接收到的N重矢量一定是码字，在矢量空间中一定对应到码字子集中的一个点上。当传输有误时，可能会发生两种情况：一是不再对应码子字集上的一点，而是对应到码字子集点相邻的的另一个空间点上；第二种可能是仍然对应到码子字集中的一个点上，但却是一个错误的点上。第一种情况下，译码的时候一定可以判断出发生了误码；而第二种情况却不能判断出发生了误码。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,对于一个最小码距为 的码字子集，如果传输中发生误码后使得空间点的位置偏移小于，则一定可以判断出发生了误码，因为这时候由于误码不可能从一个空间点偏移到另一个空间点。换句话说，可以检测到错误。而当由于误码使空间偏移大于 时，则有可能偏移到另外的码字点上，也就有可能检不出该错误来。因此，对于最小码距为 的码子字集，其检错能力为。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,纠错能力：如果我们采用最佳译码或最大似然译码，那么当接收到的码字偏离其在N维空间中原来的位置时，只要偏离得不太远，就可以根据最大似然译码规则（或最佳译码规则）经过译码得到正确的结果。但如果偏离得太远，以至于离另外一个码字的空间点更近一些，则经过最大似然译码，就会译成另一个码字，也就是不能纠正误码，或者说超出了该种编码的最大纠错范围。那么纠错范围是多大呢？,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,我们可以设想以 个码字空间点为球心，分别做一个超维的球体，且各个球体互不相交，那么，如果由于误码使空间点的偏移没有超出所对应的球体，则可以由最大似然译码纠正其错误，也就是可以纠错。对于最小码距为 的码子字集，球体半径的最小值为，考虑到纠错能力为整数位，所以纠错能力应该写为。例子:C=(000),(111),信息论与编码-码距与检错、纠错能力,联合检错、纠错能力：对于最小码距为 的码字，其单独的检错能力为，单独的纠错能力为。但如果联合考虑检错和纠错，则情况会有所变化，因为如果单独考虑检错，只要不会偏移到另一个码字空间点上，都可以检测出来，但当加了纠错以后，如果偏移值过大，以至于偏移后更接近于另一个码字空间点（即进入另一个超球体），则由于纠错的原因，就会把它当成另一个码字，从而进行错误的纠正（纠错后就认为没有错误了），以至于不能检测出来其错误。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,对于一个最小码距为 的码字子集，一般性的结论是：其中，是纠错能力，是检错能力。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,例如：最小码距为7的码字子集，单独检错可以检测6个码元的错误，单独纠错可以纠正3个码元的错误。但如果想纠正3个码元的错误，其检错能力减小为3，因为如果错误大于3，就会因为进入另一个超球体的范围而被错误地纠错。如果想检测4个错误，则纠错能力要降低为2，也就是说，要把纠错的超球半径降低为2。如果想检测5个错误，则纠错的能力要降低为1。例 重复码(0000000),(1111111),信息论与编码-码距与检错、纠错能力,从上面对纠错检错能力的分析可以看出，码字子集的纠错检错能力的大小，取决于该码字子集的最小码距。对于 个码字，共有 个码字距离，这些距离有大有小，而码的总体性能取决其中的最小者，因此，当各码字在N为矢量空间中均匀分布时，也就是当各个码字之间的距离相等时，有最好的码性能。这和各符号等概时有最大熵的道理一样。,信息论与编码-码距与检错、纠错能力,习题：p186 6-1,
