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数学判断与命题,二 数学命题及其教学,数学命题概述数学命题学习的心理分析命题教学的基本要求和教法探讨,数学命题概述,判断的意义和种类1.数学判断 对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做“判断”。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。判断与真假：判断有真假之分，是否符合客观实际情况、是否与事实相 一致是一个判断真实与虚假的标准。按照思维对象的量判断可分为：全称判断、特称判断、单称判断；按判断的质来分有：肯定判断、否定判断；按判断的关系来分有：定言判断、选言判断和假言判断。,2.常用的判断形式及其之间的关系 如果用S表示判断的对象，P表示性质（1）全称肯定判断(A)“所有的S是P”(SAP)（2）全称否定判断(E)“所有的S都不是P”(SEP)（3）特称肯定判断(I)“有的S是P”(SIP)（4）特称否定判断(O)“有的S不是P”(SOP)S也叫做判断的“主项”，P也叫做“谓项”;“所有的”或“有的”表示 主项的数量，叫做“量词”.在全称判断中量词常 常省略不写；“是”或“不是”称为联结词，表示肯定或否定。,全称判断和特称判断，就其主项S和谓项P的外延而言，有以下五种情况，在各种情况下，A、E、I、O之间的真假关系如下：,由A、E、I、O之间的关系，又可概括出以下四种关系：,上反对关系（A和E）：A和E不能同真，可以同假。A和E二者之中至少有一个是假的。A对则E错，或者A和E都错。（必有一假）下反对关系（I和O）：I和O不能同假，可以同真。I和O二者之中至少有一个是真的。I错则O对，I对则O错（或对）。（必有一真）从属关系（A和I，E和O）：A对则I对，A错则I不一定错；I对则 A不一定对，I错则 A一定错。E和O的关系与 A和I的关系相同。矛盾关系（A和O，E和 I）：A和O，E和 I 都是不能同真，也不能同假，二者之中必是一真一假。,3、判断的种类简单判断：本身不包含其它判断的判断符合判断：本身还包含其它判断的判断,数学命题的意义 在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做“数学命题”。对于无法判断其真假的语句，称为开（语）句。注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度 研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，既研究命题的 内容，又研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。如：在形式逻辑中，命题“如果13,那么1+23+2.”，但在数学中数学命题有真假之分。不是所有的语句或数学式子都是数学命题。在命题逻辑中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命题，这种命题符号称为命题变元（变量、变项），命题变元的取值只能是“真”和“假”，分别用“1”和“0”表示。,4.数学命题,（1）数学是一门科学；（2）；（3）67;（6）你在干什么？（7）禁止吸烟！（8）2比3大吗？（9）哎呀！那还得了！,请大家判断以下语句是否是数学命题：,数学命题一般可分为简单命题和复合命题两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性质命题和关系命题两种。,简单命题（1）性质命题性质命题：判断某事物具有（不具有）某种性质的命题。性质命题的结构：主项、谓项、量项和联项。有些 一元二次方程 没有 实数根（量项）（主项）（联项）（谓项）量项有“全称”和“特称”之分，联项有“肯定”和“否定”之分，将之组合，可以得到四种形式的性质命题：全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。此外还有单称肯定和单称否定。,（2）关系命题关系命题：判断事物与事物之间关系的命题。关系命题的结构：主项、谓项和量项 直线a 平行于 直线b（主项）（谓项）（主项）（前项）（后项）数学中常见的是二元关系：aRb常见二元关系有自反关系、对称关系、传递关系和等价关系。,复合命题与逻辑联结词 复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻辑联结词结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价,1.否定（非），其真值表如下：,否定（非）：在一个语句之前加上“并非”，就构成一个新的语句，叫原来语句的否定。,2.合取（与，且）,合取（与、并且）：两个语句p和q用“与”联接起来构成新的语句“p与q”称为合取式，亦称为联言命题，“p q”,3.析取（或）,析取（或）：两个语句p、q用或联接起来所构成的新的语句“q或p”称为析取式，亦称为选言命题,4.蕴涵（如果，则）,P:a和b都是偶数，Q:a+b也是偶数。,当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与原来的命题矛盾。,蕴涵（如果。，那么。）：把命题p、q用“如果。，那么。联接起来，得到新的命题”如果p，那么q”，pq，这个式叫蕴涵式，“p蕴涵q”，p、q分别叫前后件（即前提和结论）。,5.等价（当且仅当）,等价（当且仅当）：将两个命题p、q用“当且仅当”联接起来，构成复合命题“p当且仅当q”，pq,例如：（1）2+3=5（真）（2）47=30（假），等价式：（2+3=5）（47=30）（假）例如：（1）三角形两边之和小于第三边（假）（2）李白是清朝文人（假）。等价是：“三角形两边之和小于第三边”当且仅当“李白是清朝文人”（真）几点说明：一个命题中如果没有逻辑联接词出现，那么该命题一定是简单命题。以上五种式子是复合命题中最简单的形式，由这些基本形式经过各种组合，可以得到更加复杂的复合命题。简单命题的真假由数学内容来决定，而经过复合后的命题其真假值则由真值表来决定。,复合命题的值,求复合命题的值，可先穷尽地列出p、q取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。联结词的强弱顺序：,恒真命题：一个命题在任何情况下都为真恒假命题：一个命题在任何情况下都为假,1 1 1 1,1 0 0 0,0 1 1 1,0 1 0 1,1 0 1 0,1 1 0 0,恒真命题,10111011,11110101,11111001,10110001,11111111,逻辑等价,若两个复合命题A、B真值表相同，就称A、B逻辑等价.,可以验证下列逻辑等价式：,幂等律,数学命题的四种形式及其关系 为了更好地研究数学命题：若p则q，有必要研究命题的四种形式及其关系命题的四种形式：（1）原命题：pq；（2）逆命题：qp；（3）否命题：p（4）；逆否命题：qp。四种命题的关系：原命题和逆命题是互逆的，否命题和逆否命题是互逆的，原命题和否命题是互否的，逆命题和逆否命题是互否的，原命题和逆否命题是互为逆否的，逆命题和否命题是互为逆否的。,假言命题的四种形式及其之间的关系,例子：1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角形等积。,逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角形全等。,否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。,逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分。,逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。,否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。,逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。,真,真,真,真,3.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。,逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。,逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。,否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。,假,假,假,假,它们之间的关系可以用真值表来证明：,从真值表中可以得出：原命题和逆否命题等价；逆命题和否命题等价。所有四种命题中实质不同的只有两种，其它两种只是形式不同而已。在数学论证中经常用到具有逆否关系命题的等价性，在证明一个命题时，可以将之转换成它的逆否命题的形式加以证明。,同一原理 互逆的两个命题未必等价。但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等 价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。例如,“等腰三角形底边上的中线是底边上的高线”是一个真命题,这个 命题的条件“底边上的中线”有一条且只有一条,结论“底边上的高线”也是 有一条且只有一条。这就是说,命题的条件和结论都唯一存在。由于这个命 题为真,所以命题的条件和结论所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,这个命题的逆命题“等腰三角形底边上的高线是底边上的中线”也必然为真。同一原理是间接证法之一的同一法的逻辑根据。对于符合同 一原理的两个互逆命题,在判定其真假时,只要判定其中的一个就可以了。在实际判定时,自然要选择易判定的那个命题。,偏逆命题及其否命题,把原命题中数目相同的部分前提和结论互换后得到的命题称为原命题的偏逆命题。例如原命题：如果a和b都是偶数，则a+b也是偶数。,真,真,(a是偶数)(b是偶数)(a+b是偶数),偏逆1：(a是偶数)(a+b是偶数)(b是偶数),偏逆2：(a+b是偶数)(b是偶数)(a是偶数),例如 原命题：在圆内，弦的垂直平分线必过圆心并且平分这条弦所对的弧。逆命题：在圆内，过圆心并且平分弦所对的弧的直线必垂直平分这弦。偏逆命题1：在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直这弦所对的弧，一个原命题的偏逆命题一般有数个。偏逆命题和其它三个命题没有前面那样的简单关系。请大家作出下面这个命题的偏逆命题：如果四边形ABCD是平行四边形，则它的对边相等。,(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD),(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD),(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD),(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD),(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD),充分条件和必要条件,数学数学命题中的条件分成充分条件、必要条件和充分必要条件。充分条件：如果命题“若p则q”为真，则条件p就称为使q成立的充分条件必要条件：如果命题“若q则p”为真，则条件p就称为使q成立的必要条件显然若p是q成立的充分条件，则q一定是使p成立的必要条件，反过来也对。充分必要条件：如果“若p则q”和“若q则p”均为真，则p是q成立的充分必要条件。在解题或证明中要明确充分条件和充要条件,公理和公理化方法（新概念旧概念更旧的概念原始概念）定理旧命题更旧的命题公理不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而承认的命题称为公理。公理化方法：从尽可能少的基本概念和公理出发，运用逻辑推理，建立数学分支的方法。公理系统中的公理应满足的三个条件：,（1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，由公理推导 的结果也不能矛盾（2）独立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能借助直观,演绎数学的兴起,欧几里得Euclid(ca.325-ca.270BC),公理化方法与欧几里得的几何原本,原本(Elements),共十三卷，包括五条公理、五条公设、一百一十九个定义和四百六十五条命题,第11、12、13卷：立体几何及穷竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：数论的内容,第5卷：比例理论第6卷：比例理论的几何应用,第1卷：23个定义、公理、公设第1、3、4卷：平面几何内容第2卷：几何代数内容,原本来源图,基本定义,1、假定从任意一点到任意一点可作一直线 2、一条有限直线可不断延长 3、以任意中心和直径可以画圆 4、凡直角都彼此相等 5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交,公理,1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量减等量，差相等4、彼此重合的图形是全等形5、整体大于部分,公设,点、线、面、圆等,原本 1482年 威尼斯,第一个拉丁文印刷本,阿拉伯文本原本手抄本,徐光启、利玛窦合译原本前6卷(1605-1606年),根据德国数学家克拉维斯(Clavius C.1537-1612)注释本原本，全书共15卷,李善兰、伟烈亚利合译原本后9卷(1852-1856年),定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻 辑方法来证明其真实性的命题。定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或求证）逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的逆定理。判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个“小定理”。推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。证明题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理 论证的练习。,分断式命题和配套定理,在ABC中，如果ABAC，那么CB；如果ABAC，那么CB；如果ABAC，那么CB.象上例，一个命题是由几个命题总合而成，而它们的条件和结论有相同的特点：所含事项互不相容，又包括了一切可能的情形，则把这样的命题称为“分断式命题”.,分命题,简单定理 条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。例如：同一个三角形中，大角对大边。复合定理条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。例如：等角的邻补角相等,学生学习数学命题的心理分析,对公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命题孤立地学习定理、公式,公理、定理、公式的教法探讨,公理的教法 采用学生熟知的具体事例或生活经验出发让学生了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出发点。在教学中要让学生体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则进一步的推理便无法进行。引入公理也要有个过程，通过引导学生对实际事物的观察，进行一定的实验和检验，从而不但让学生对公理的真实性确信不疑，也便于学生对公理的理解和记忆。法则的教学法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式，一般是围绕运算展开的。法则可以分成定义型和公式型两类。定义型法则的教学类似于概念的教学，公式型法则的教学则类似于数学公式的教学。法则教学的重点在应用：正确运用熟练运用迅速而合理简化运算过程。,定理、公式的引入方法(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，做出猜想(2)通过推理直接发现结论(3)通过命题间的关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）,了解定理的由来：在教学过程中一般不先提出命题的内容，最好通过实验、演算等手段，先让学生自己思考，估计出命题的内容，然后再去论证。明确定理的条件和结论（定理的结构）：中学数学里，命题大部分是以充分条件形式出现的，要对命题的结构进行分析，使学生分清已知条件和结论（“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”“如果一点在一个角的平分线上，那么这点到这个角的两边的距离相等”）,定理证明的思路和方法：一般以口头分析探索证明的途径，然后用综合法简练地表达出来，在该过程中学生的积极参与是重要的。先分析后综合不仅在几何中，在代数中可同样运用。,定理的应用：懂得不等于会用，使学生会用（甚至熟练）定理解决有关的问题 是定理教学中的重要一环。可通过例题、习题（反馈、修正）等 使学生逐步掌握定理的应用。把所学定理纳入定理系统中：教学 中的定理都是定理系统中的一个，要让学生弄清定理在系统中的 地位和作用以及和其它定理之间的关系等，这样做可以使学生更 加深刻地理解定理，同时也使对定理的记忆更加容易。定理证明中要注意的：1、注意图形的正反方面的作用；2、严密的推理是论证的核心；3、重视书写的格式。,公式的教学公式是定理的另一种形式，是用字母和符号表示的命题。因此原则上公式的教学和定理的教学并没有什么区别。要重视公式的推导，要在教师的指导下让学生自己进行推导，教师作必要的提示。公式的推导可以帮助学生对公式的记忆、明确公式的条件以及培养学生的推理能力。利用公式的外形和特征进行记忆注意公式的条件，忽视公式的条件是发生错误的原因之一。注意公式的正反使用注意问题使学生明确公理的意义由学生探索定理、公式等先发现、猜想，后教师归纳和逻辑证明注意命题间的关系，渗透必要的逻辑知识,