两个随机变量的函数的分布.ppt

2023/9/2,1,3.5 随机变量函数的分布,例：设电流（单位：A）X通过一个电阻值为3的电阻器，且XR(5,6).试求在该电阻器上消耗的功率 的分布函数 与密度函数,解 由于X的值域,，因此，,的值域,X是一个连续型随机变量,其的密度函数为:,2023/9/2,2,3.5 随机变量函数的分布,当75y108时，Y的分布函数,因此,对,求导，得到Y的密度函数为,2023/9/2,3,一维连续型随机变量函数的分布,解 题 思 路：,2023/9/2,4,返回主目录,例 已知X的密度函数为,试求,的密度函数,解 由于,因此,对任意一个y0:,直接求导得到,2023/9/2,5,返回主目录,例 已知,求证:,证：下面仅就 a0 的情形给出证明，a0的情形类似可证.由于 故对于任意给出的y有：由于 故 对于任意给出的y有：,2023/9/2,6,返回主目录,因此，,2023/9/2,7,和分布,若(X,Y)是连续型随机变量，设f(x,y)为其概率密度。,则 Z=X+Y的分布函数为,2023/9/2,8,或,因此 Z=X+Y的概率密度为,特别地，当X和Y相互独立时，有,上面的等式称为 fX 和 fY的卷积。,记为fX*fY。,2023/9/2,9,例：已知X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布，,求 Z=X+Y的概率密度。,解：由题意知，X和Y的概率密度为,于是，由卷积公式有,2023/9/2,10,令,即 Z 服从N(0,2)分布.,一般地，设X和Y相互独立，且,则 Z=X+Y仍服从正态分布，且有,2023/9/2,11,例：已知X和Y相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布，,求 Z=X+Y的概率密度。,解：由题意知，X和Y的概率密度为,于是，由卷积公式有,当z0或z2时，,当0 z 1时，,2023/9/2,12,当1 z2时，,因此,由于概率密度函数的形状是三角形，所以称随机变量Z=X+Y服从三角分布(triangular distribution),2023/9/2,13,返回主目录,例：设X与Y相互独立，且都服从指数分布E().试求Z=X+Y的密度函数。解：X与Y的联合密度函数为,Z=X+Y的值域,当z0时，,其中，,（如图）,2023/9/2,14,返回主目录,从而，当z0时：,通过求导得到Z的密度函数为,2023/9/2,15,返回主目录,例:设X与Y相互独立，XR(0,1),YE(1).试求Z=X+Y的密度函数。解 X与Y的联合密度函数为,Z=X+Y的值域,当z0时：,其中，,（如图）,2023/9/2,16,返回主目录,由于z1时积分区域Dz的形状不同，因此，需要分别讨论.,当0z1时：,2023/9/2,17,返回主目录,当z1时：,通过求导得到Z的密度函数：,2023/9/2,18,若(X,Y)是连续型随机变量，且X和Y相互独立。,则 Z=maxX,Y的分布函数为,由于X和Y相互独立，所以,即,二、Z=maxX,Y,Z=minX,Y 的分布,2023/9/2,19,类似地，可得Z=minX,Y的分布函数：,即,以上结果还可推广到n个相互独立随机变量的情况,2023/9/2,20,例：设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成，设两个灯泡的寿命分别为X和Y，且都服从参数为1的指数分布，求：,(1)当这两个灯泡并联时，系统寿命的概率密度；,(2)当这两个灯泡串联时，系统寿命的概率密度,解：由题可知,相应的分布函数为,2023/9/2,21,(1)当这两个灯泡并联时，系统寿命为Z=maxX,Y。,由上面的公式，可得,从而，Z=maxX,Y的概率密度为,(2)当这两个灯泡串联时，系统寿命为Z=minX,Y,利用公式，可得,2023/9/2,22,三、Z=Y/X 的分布,注：需特别注意z的正负号，因为这决定着二重积分的上下限。,2023/9/2,23,例：设X和Y的联合概率密度为,求随机变量Z=Y/X的概率密度。,解：,2023/9/2,24,求导，得Z=Y/X的概率密度为,而当z0时，,从而,综上,2023/9/2,25,内容小结,