不定积分的概念与性质.ppt

第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质,1/22,第四章 不定积分,加法和乘法有逆运算减法和除法，,微分法的逆运算积分法。,微分法：,已知一个函数，求其导数或微分。,积分法：,求一个函数，使其导数是一个已知函数。,背景：,已知速度求路程、已知加速度求速度、已知切线斜率求曲线等。,微分法:,积分法:,互逆运算,例,一、原函数与不定积分的概念,定义 若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），称 F(x)为 f(x)在 I 上的一个原函数。,问题：,(1)满足什么条件的函数有原函数？若有，是否唯一？,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,(3)若原函数存在，如何求出？,=,定理 1(原函数存在定理)：,简言之：连续函数一定有原函数.,这个定理下一章证明。,定理2(关于原函数的说明)：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,简言之：同一函数的任意两个原函数必相差一个常数。,不定积分的定义：,函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，,不定积分与原函数是总体与个体的关系。,设F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是一个函数族F(x)+C,写作：,前面几例可写作：,后两个不易直接看出，需要依赖积分法。,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,每条积分曲线上，横坐标相同的点处的切线是平行的。,例3,微分运算与求不定积分的运算是互逆的:,=,=,由此可知：,+C,+C.,实例,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简将所求积分化为基本积分表中的积分。,解,根据幂函数的积分公式,例4 求,（恒等变形法）,三、不定积分的（线性）性质,例5,例7,例8,例9,例10,例11,例12,例 14,例 15,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P188),2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,思考与练习,1.证明,2.若,提示:,3.若,是,的原函数,则,提示:已知,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5.求下列积分:,提示:,6.求不定积分,解：,7.已知,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,作 业,习题4-1,