《高等数学教学课件》5.1.ppt,.ppt

,第五章 定积分,5.1 定积分的概念与性质,实例1 求曲边梯形的面积,1、定积分的概念一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，取极限可得路程的精确值.,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、可积条件,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,由定积分的几何意义知：,五、定积分的性质,C,性质1,证,证,性质2,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3,性质4,证,性质5,解,令,于是,性质5的推论：,证,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,5.2 微积分基本公式,二、积分上限函数及其导数,定理（原函数存在定理）,且它的导数是,A,D,例3 求,解,定理 3（微积分基本公式）,三、牛顿莱布尼茨公式,证,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例1 求,例3设 求.,解,例4 求,解,由图形可知,例5 求,解,解 面积,例6,例7 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,