《运筹学》胡运权清华版-12-02矩阵对策基本定理.ppt

1,四、矩阵对策基本定理,定理5,矩阵对策G=S1,S2;A 在混合策略意义下必定有解。,2,现引入记号：ii，局中人I的纯策略 jj，局中人II的纯策略 E(i,y)局中人I取纯策略i时的赢得值 E(x,j)局中人II取纯策略j时的赢得值则,3,进一步,4,矩阵对策基本定理证明分析 理性假设下，局中人I选取混合策略x*的目标是使,若x固定，局中人II采用纯策略y=j，则局中人I的期望收益,5,若x固定，局中人II采用任意一个混合策略y时，由（12.18）,6,由（12.16）,局中人I的目标是,7,综上，局中人I的问题,线性规划问题I,8,同理分析局中人II 理性假设下，局中人II选取混合策略y*的目标是使,若y固定，局中人I采用纯策略x=i，则局中人II的期望损失,9,若y固定，局中人I采用任意一个混合策略x时，由（12.17）,10,由（12.15）,局中人II的目标是,11,综上，局中人II的问题,线性规划问题II,12,问1：上述两个线性规划问题关系？互为对偶问题 问2：上述两个线性规划问题解的情况？易知,13,因此两个问题都有可行解，根据对偶理论，这两个问题都有最优解，且目标值相等 max w=min v。,即矩阵对策在混合策略意义下必定有解。,14,五、矩阵对策若干性质,定理6,设（x*,y*）是G的解，v=VG，则,互补松弛性定理,15,定理7,设有两个矩阵对策G1=S1,S2;A1和G2=S1,S2;A2，其中 A1=(aij)，A2=(aijL)，则,16,定理8,设有两个矩阵对策G1=S1,S2;A和G2=S1,S2;A，其中 0为任意常数，则,17,定理9,设G1=S1,S2;A 为一矩阵对策，且A=-AT，则,其中T1(G)和T2(G)分别为局中人I和II的最优策略集。,