《解释几何第四版》讲解与习题第三章平面与空间直线.ppt

第三章 平面与空间直线,主要内容1、平面的方程2、平面与点的相关位置3、两平面的相关位置4、空间直线的方程5、直线与平面的相关位置6、空间直线与点的相关位置7、空间两直线的相关位置8、平面束,第一节 平面及其方程,一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程,1、方位向量,在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a,b称为平面的方位向量。,显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作为平面的方位向量。,2、平面的向量式参数方程,又因为,所以,r-r0=ua+vb,即,r=r0+ua+vb（1）,方程（1）称为平面的向量式参数方程。,显然,3、平面的坐标式参数方程,若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则,r0=x0,y0,z0,r=x,y,z,并设,a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2,则由（1）可得,（2）式称为平面的坐标式参数方程。,r=r0+ua+vb（1）,例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。,解：,因此，平面的向量式参数方程为,r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3),坐标式参数方程为,从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：,（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）,与,或,（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。,特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为,称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,二、平面的点法式方程,1.法向量:,注:1 对平面,法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,2.平面的点法式方程,设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.,得:,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x 2)2(y+3)+3(z 0)=0,即:x 2y+3z 8=0,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9j k,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0,即:14x+9y z 15=0,例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。,解：,又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为,(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,整理得,x+y-2z+1=0,三、平面的一般方程,1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n=A,B,C,证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为,它表示过定点,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2),称为平面的一般方程.,且法向量为 n=A,B,C的平面.,例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,4,2(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0,即:2x 3y+4z 4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,Ax+By+Cz=0,(2)平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以,n i=A 1+B 0+C 0=A=0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是,平行于xOz 面的平面方程是,平行于yOz 面的平面方程是.,Cz+D=0;,By+D=0;,Ax+D=0,例3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.,设所求平面的方程是 By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3B C=0,C=3B,所求平面方程为 By 3Bz=0,即:y 3z=0,例4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.,解:设所求平面的方程为,Ax+By+Cz+D=0,因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是,aA+D=0bB+D=0cC+D=0,解得:,所求平面的方程为:,即:,(3),设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,三、平面的法式方程,取空间直角坐标系，设点 的向径为，平面上的任意一点 的向径为，则平面的点法式方程,若设 那么平面的点法式方程：,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系数A，B，C 有简明的几何意义，它们是平面 的一个法向量的坐标,若平面上的一点 M 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足P，而 的法向量取单位向量，设，那么由点 M 和法向量 决定的平面的向量式法式方程为：,平面的坐标式方程，简称法式方程为其中：，,平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数,三、平面的法式方程,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化,取 称平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程 在取定符号后叫做法式化因子,选取的符号通常与常数项 相反的符号,例4：把平面 的方程 化为法式方程，:求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离,1.平面的向量式参数方程,2.平面的坐标式参数方程,3.平面的点位式方程,4.平面的三点式方程,5.平面的截距式方程,作业:P105:1(2),2.4,第二节 平面与点的相关位置,设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。,在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),过P0点作一法向量 n=A,B,C,于是:,又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1),=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D),=Ax0+By0+Cz0+D,所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:,(4),一、点与平面的距离,1.点与平面的离差2.点与平面之间的距离,1.点与平面的离差,定义 3.2.1 一点与平面上的点之间的最短距离，叫做该点与平面之间的距离。,可以看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点 位平面 的单位法向 所指向的一侧，与 同向，离差；在平面的另一侧，与 方向相反，离差，当且仅当 在平面 上时，离差,2.点与平面之间的距离,二、平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义,二、平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义,例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离,三、例题,作业：P109：1（2），2（2），4,10,第三节 两平面的相关位置,1、设两个平面的方程为：,1：A1x+B1y+c1z+D1=0(1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0(2),定理1：两个平面（1）与（2）,相交A1:B1:C1A2:B2:C2.,平行,重合,（1）定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,2、两平面的夹角,（2）、两个平面的交角公式,设两个平面1，2间的二面角用(1,2)表示，而两平面的法向量n1,n2的夹角记为=(n1,n2），显然有,(1,2)=或-,因此,3、两平面垂直的充要条件,两平面(1)(2)垂直的充要条件为,A1A2+B1B2+C1C2=0,例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量 n=A,B,C,已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=1,1,1,于是:,A(1)+B 0+C(2)=0 A 1+B 1+C 1=0,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=2,1,1,所以,所求平面方程是,2(x 1)+1(y 1)+1(z 1)=0,即:2x y z=0,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,作业:P112.3(2),4(2),5(1),练 习 题,练习题答案,已知直线l通过定点M0(x0,y0,),且与非零矢量v=X,Y,Z共线，求直线l的方程。,(t为随M而定的实数）,又因为,所以,r-r0=tv,（2）坐标式参数方程为,故得l的,第四节 空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,1、方位向量的定义：,如果一非零向量s=m,n,p,平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方位向量,二、空间直线的对称式方程,而s 的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.,2.直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0,y0,z0)点,方位向量 s=m,n,p,所以得比例式,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,三、空间直线的参数式方程,得:,称为空间直线的参数方程.,(3),令,方位向量的余弦称为直线的方向余弦.,例1:写出直线,x+y+z+1=02x y+3z+4=0,的对称式方程.,解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0),令z0=0,代入方程组,得,x+y+1=02x y+4=0,解得:,所以,点 在直线上.,(2)再找直线的方位向量 s.,由于平面1:x+y+z+1=0的法向量n1=1,1,1,平面2:2x y+3z+4=0的法向量n2=2,1,3,所以,可取,=4i j 3k,于是,得直线的对称式方程:,例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,3)的直线方程.,解:直线的方位向量可取 AB=2,2,1,所以,直线的对称式方程为,作业:P119-120:1(4),3(3),4(1),第五节 直线与平面的相关位置,设直线和平面的方程分别为,一、直线与平面的位置关系的充要条件,定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的充要条件：,1o 相交：,AX+BY+CZ0,2o 平行,3o 重合,证：将直线方程改与为参数式,将（3）代入（2）并整理得,(AX+BY+CZ)t=-(Ax0+By0+Cz0+D)（4）,因此，当且仅当AX+BY+CZ0时，（4）有唯一解,这时直线与平面有唯一公共点；,当且仅当AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D0时,方程（4）无解，,这时直线与平面有没有公共点；,当且仅当AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D=0时,方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,二、直线与平面的夹角,（1）直线与平面的夹角公式,（2）直线与平面的位置关系：,/,s/n,s n,例1:判定下列各组直线与平面的关系.,解:L的方位向量 s=2,7,3,的法向量 n=4,2,2,s n=(2)4+(7)(2)+3(2)=0,又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与 平行,但不重合.,解:L的方位向量 s=3,2,7,的法向量 n=6,4,14,L 与 垂直.,解:L的方位向量 s=3,1,4,的法向量 n=1,1,1,s n=3 1+1 1+(4)1=0,又L上的点 M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L 与 重合.,解,为所求夹角,注2 直线和平面平行时，其距离等于 到平面的距离。,几点注意：,注1 直线与平面的位置关系，是点、平面、直线关系的纽带，是求直线、平面方程的基础。,注3 当直线和平面垂直时，可取平面的法向量为直线的方向，反之亦然。,注4 特别注意：直线与平面的夹角公式是,作业:P123-124:1(3),2,3(2),解析几何 Chapter 3,6 空间直线与点的相关位置,已知空间一点 与空间直线及直线上一点，从而直线的方向向量为，,定义 一点与空间直线上的点之间的最短距离叫做该点与空间直线间的距离。,Contents,则,例1 求点 到直线 的距离.,Contents,例2 求点 到直线 的距离。,作业:P125.2.,Contents,第七节 空间两直线的位置关系,一、空间两直线的位置关系,1、位置关系：,共面,异面,相交,平行,重合,2、相关位置的判定：,设两直线L1,L2的方程为,s1=m1,n1,p1,s2=m2,n2,p2,定理1,判定空间两直线L1，L2的相关位置的充要条件：,（1）异面,（2）共面,=0,相交：,m1:n1:p1m2:n2:p2,平行：,m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1),重合：,m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1),二、两直线的夹角,定义:两直线的方位向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.,已知直线L1,L2的方程,s1=m1,n1,p1,s2=m2,n2,p2,1.L1与 L2的夹角的余弦为:,2.L1垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=0,3.L1平行于 L2,解:直线L1,L2的方位向量 s1=1,4,1 s2=2,2,1,有:,所以:,解,设所求直线的方位向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方位向量为,所求直线方程为,三、两异面直线间的距离与公垂线的方程,1、两异面直线间的距离,设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，,则L1与L2之间的距离,所以两异面直线L1，L2的距离为,2、两直线的公垂线方程,公垂线可看为由过L1上的点M1，以v1,v1v2为方位向量的平面与过L2上的点M2，以v2,v1v2为方位向量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：,其中X，Y，Z为v1v2 的分量。,例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线,都相交的直线的方程。,解：,设所求直线的方向矢为v=X,Y,Z,则直线为,因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为v1=1,2,3,L2过点M2(1,2,3)，方向矢为v2=2,1,4,故,即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0,解得 X:Y:Z=0:1:2,故所求直线的方程为,例2 已知两直线,试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。,解：,所以L1与L2为异面直线。,又v1v2=0,0,2,所以,公垂线的方程为,即,作业:P131-132:2(2),3(3),8,第八节 平面束,一、平面束,1、有轴平面束：,空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。,2、平行平面束,空间平行于同一平面的所有平面的集合称为平行平面束。,定理3.8.1 如果两个平面,1：A1x+B1y+C1z+D1=0,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的方程为,m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0,其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）,定理3.8.2 如果两个平面,1：A1x+B1y+C1z+D1=0,2：A2x+B2y+C2z+D2=0,为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程,m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0,表示平行平面束，平面束中的任一平面都与1平行。,m,n不全为零，且m:nA1:A2=B1:B2=C1:C2.,推论：由平面：Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为,Ax+By+Cz+=0,其中为任意实数。,例1 求通过直线,且与平面,x+y+z-1=0,垂直的平面的方程。,解：,设所求平面的方程为,m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0,即(2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0,由两平面垂直的条件，得,即(2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0,即 m+2n=0,因此 m:n=2:(-1),所求平面的方程为,3x-3z+4=0,例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2的平面的方程。,解：,设所求平面的方程为,3x+y-z+=0,因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2).,由此得,2+=0=-2,故所求平面的方程为,3x+y-z-2=0,例题,例3 试证两直线 与在同一平面上的充要条件是:证明：通过 的任意平面为其中 是不全为零的任意实数；通过 的任意平面为,其中 是不全为零的任意实数；直线，在同一平面上的充要条件时存在不全为零的实数，,整理得:,方程组有非零解，系数行列式,例4 直线方程的系数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面 内.,例5 求直线 在平面 上的射影.,作业:P137-138:3,6,