《数学物理方程-福州大学-江飞》2.3柯西问题.ppt

1.傅里叶变换及其基本性质,2.3 柯西问题,其中,把系数表达式代入级数：,设，令，得,傅里叶积分：,*傅里叶积分复数形式,性质1 傅里叶变换是线性变换，即对于任意复数，以及函数，成立,傅里叶积分复数形式：,令，则,称 为 的傅里叶变换，记为；,称 为 的傅里叶逆变换，记为。,注,则傅里叶变换存在且逆变换等于。,傅里叶变换：,性质2,证明,性质2,证明,性质,傅里叶变换：,性质3,证明,傅里叶变换：,性质,证明,傅里叶变换：,证明,性质5,证明,性质5,性质2,性质,性质1,性质3,性质,傅里叶变换：,*高维傅里叶变换,*高维傅里叶逆变换,2.热传导方程柯西问题的求解,*先求齐次热方程情况,对空间变量进行傅里叶变换：,可得带参数的ODE：,带参数的ODE解为,对上式做傅里叶逆变换,*与实际热传导现象吻合吗？,解为,再求非齐次热方程情况,由（1）即知,（1）,解为,解为,3.解的存在性（以齐次情况说明）,形式解,设初始值函数连续且有界，不妨设,解（无穷积分）是收敛，并且有界（物理意义）,形式解,形式解,说明如果解的求导与无穷积分可交换，则u满足（1）,为了证明可交换，需证明被积函数一致收敛，先考虑关于x一次导数情况：,形式解,则上式对,一致收敛：,因此,从而,类似可证,从而 满足,下面最后证明形式解满足初始条件，即：,形式解,形式解,满足,时，成立,令，形式解,初始值改写为,则,下证,则,取充分大 使得,p.62:2.5(1).8.,