《数学物理方程-福州大学-江飞》3.3格林函数.ppt

,1.格林函数及其性质,3 格林函数,*引入格林函数动机,回顾调和函数的积分公式,其中,福州大学数学与计算机科学学院江飞:,*考虑调和方程的狄利克雷问题（狄氏问题）,（1）,让其与（1）式相减,可得,我们称 为狄氏问题的格林函数（狄氏问题的源函数）。,该方法称为格林函数法！,格林函数法意义,（1）格林函数仅依赖于区域：,（2）对于某些特殊区域是可以用初等方法求得格林函数。,（3）可利用格林函数研究解的性质。,*格林函数性质,（2）,（4）,（5）,（3-5）证明见习题1.2.,2.静电源像法,*原理 当区域的边界具有特殊的对称性时，可用类似于反射波的方法求格林函数。具体地说：,假设在区域外也有一个点电荷，它对自由空间的电场产生一个电位，如果这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，该假设的点电荷在 内的电位就等于边界上感应电荷所产生的电位。假想电荷位置应该与源电荷关于边界有某种对称性（镜像法）。,记,并且,则,即,接地导体壳,假想电荷,由于在球面上电势为零，故,利用（1）式得,（1）,从而可得其电位势为,即假想电荷的电量为,因此球上的格林函数是,下面利用球上格林函数求,回顾下：该问题的解,为此需计算格林函数的方向导数。,注,利用余弦定理，,注意到,从而,将其代入解的表达式，,通过镜像法，球区域格林函数公式,小结：,求,把 代入 表达式，并改写成球坐标形式。,*同理可得对应的2D情况,通过镜像法，球区域格林函数公式,注意2D情况的基本解为，故,注意到,则,则,解：,利用关于平面对称性易得上半空间格林函数为,因此,的形式解为,的形式解为,注,（1）,（1）的推导见p84:(3.4)并利用（2.6），这两结果都是在有界区域的。为此，对于上半空间问题，为使（2.6）成立，我们需要假定,3.解的验证,我们仅对2D球上的狄氏问题进行验证,因此,记,则,利用p85性质5,从而,下面证明上式右式趋于零as,有,故,（1）,在 上,故,有,（1）,显然,另一方面,即,有,即,故,有,5.调和函数的基本性质,3D解的表达式,下面证明极限函数 在区域 中也是调和函数。,因为函数序列 一致收敛于。,即知 是球内的调和函数，定理证毕。,设 是 上的一个单调,定理3.2（哈纳克第二定理）,不减的调和函数序列，若它在 内的某一点 收敛，则它在 中处处收敛于一个调和函数，并且这种收敛在,的任一闭子区域上是一致的。,证,*首先证明：记 是以 点为球心，为半径,因此，若，则,利用调和函数的平均值公式，上式即为（哈纳克不等式）,注意到,由于,故,即,则,注意到 的收敛性，即,限制 即 则,综上即知,设 是 中任一有界闭集，由有限覆盖定理，存在有限个完全落在 中的闭球 覆盖。因 在 中处处收敛，特别在每个闭球 的球心 处收敛，从而 在 上一致收敛。注意到闭球的个数有限，故 在 上也一致收敛。,定理3.3 设 为区域 中的非负调和函数，则对 中的任一有界闭子区域，存在仅与 有关的正常数，使得,即,由哈纳克不等式可得，对于任一用于覆盖 的半径为 的球中的任意两点,，成立,由于 在 上的最大点与最小点必分别落在某个半径为 的覆盖球中，取，即得,定理3.4（可去奇点定理）设 在点,的邻域中除点 外是调和函数，在 点附近成立,其中 表示 点和 点的距离，则,总可以重新定义函数 在点 的值，,使 在整个所考虑的点 的邻域中,（包括 本身在内）是调和函数。,下面证明。,记 则,（1）,由 的任意性，即知,故,即,这就完成了可去奇点定理的证明。,不妨设 就是坐标原点（可通过平移变换实现）。,由于,定理3.5*（调和函数的解析性定理）设 是区域 中的调和函数，那么它在 中是关于自变量 的解析函数，也就是说在 中任一点 的附近，它都可以展开成 的幂级数。,证,利用泊松公式,利用二项式定理可以将上式右端展开为 的幂级数。当 在球面上，而 在原点附近时这幂级数是一致收敛的，因此可以逐项积分，而且积分后仍得到一个关于 为一致收敛的幂级数，因此 在 处是解析的。由点 的任意性知道 在 内处处解析。定理证毕。,多元函数幂级数,p.94:1.8.9(1).10,