《数学物理方法教学课件》无穷级数.ppt

2023/9/1,9,1,无穷级数,无穷级数,参考章节：4.1,4.3,4.4基本练习：p48:3,7附加练习：p48:1,5,2023/9/1,9,2,复数级数,考虑复数序列,将各项相加就得到一个复数级数：,如果这个级数的部分和,构成的序列 收敛，就说级数是收敛的。,叫做这个级数的和。,2023/9/1,9,3,复数级数与实数级数,将复数级数的每一项按实部与虚部分解：,这个级数就可以改写成如下的样子：,一个复数级数是两个实数级数的有序组合。由于这个原因，关于实数级数的收敛性的判别准则完全可以推广到复数级数中。请大家回顾实数级数的收敛性的判别方法，或参考教科书相应的内容。,2023/9/1,9,4,复数级数的收敛性,级数收敛的柯西充要条件：任意给定，存在正整数n,使对任意正整数p有,这实际上就是要求级数的通项趋于零。这显示在不改变求和次序的前提下，可以将收敛级数并项。,如果级数 收敛，则称 绝对收敛。,前一个级数是正项实数级数，任何用于判别其收敛性的方法都可用于判别复数级数的收敛性。,2023/9/1,9,5,级数相乘,有时需要将两个或多个无穷级数乘起来：,2023/9/1,9,6,函数级数,如果复数级数的每一项都是定义在区域 G中的复变函数,所得到的级数叫做函数级数：,若函数级数在 G 内的每一点都收敛，则它在 G内收敛，是 G 内的单值函数。,如果对任意给定的，存在一个与 无关的整数，使得当 时，,则称级数在G内一致收敛。,2023/9/1,9,7,一致收敛级数的性质,一致收敛级数具有如下重要性质：如果级数的每一项都在区域 G内连续，和函数也在G内连续，因而求极限与求和可以交换次序：,如果级数的每一项都在区域 G内一条分段光滑的曲线上连续，则级数可以逐项求积分：,如果级数的每一项都在区域 G内单值解析，则和函数是G内的解析函数，它的各阶导数可以通过对级数逐项求导得到。,2023/9/1,9,8,幂级数,如果一个级数的通项是幂函数，就叫做幂级数：,根据达朗贝尔判别法，如果以下的极限存在，,绝对收敛,级数发散,这就确定了级数的收敛半径。,2023/9/1,9,9,判别幂级数收敛的柯西公式,如果求收敛半径的达朗贝尔公式所要求的极限不存在，就必须改用柯西公式。根据柯西判别法，级数绝对收敛的条件是,绝对收敛,级数发散,由此确定级数的收敛半径：,在收敛圆内，级数绝对收敛，在收敛圆外，级数发散。,