《数学物理方法》第一章.ppt

数学物理方法,绪 论,数学物理方法 既是理论物理学的基础，又是物理学与数学联系的桥梁。,数学物理方法课程包括复变函数、数学物理方程、积分变换和特殊函数四大部分。,是既具有数学类型又具有物理类型的二重性课程。本课程为后续的物理基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。,学习数学物理方法，主要矛盾是如何学习和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数学物理方法的知识解决物理问题的能力。,课程性质,数学物理方法与高等数学是分不开的，它涉及一元和多元微积分学、幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、线性代数等。,答疑：,要勤于思考，多做练习，“熟能生巧”。当学完数学物理方法以后，你会发现，你的数学分析水平将有大幅提高。,学习方法,参考书,1.梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社，1998年6月第三版 2.郭敦仁：数学物理方法，北京：人民教育出版社 19653.吴崇试：数学物理方法，北京：北京大学出版社 2003 4.德顾樵，数学物理方法，科学出版社,第一章 复数与复变函数,第一节 复数第二节 复变函数的基本概念第三节 复球面与无穷远点,第一节 复数,复数的概念,复数相等,复数,形如 z=x+i y 的数被称为复数，其中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1,z1=z2当且仅当 Rez1=Rez2 且 Imz1=Imz2,复数四则运算？,复平面,复数与平面向量一一对应,模,幅角,复数不能比较大小,0的幅角呢？,（几何表示）,复数的表示,代数表示：z=x+iy,三角表示：z=r(cos+isin),指数表示：z=rei,注意,在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k,欧拉公式,复数的运算,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,乘法运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,共轭复数及其运算,复数z=x+iy的共轭复数为=x-iy,共轭复数 是复数z关于实轴的对称点,根式函数,称满足方程 的复数 为 的 n 次方根，记作,解：,则,记,记,例如,举例,复数的发展,复数的引入,需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登著代数学,丁石孙译,科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。,十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”。他在对代数的完整性介绍(17681769年在俄国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数.因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号i作为虚数单位。,十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用。特别地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论。,自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：负数不能开偶数次方；负数没有对数；指数函数无周期性；正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；等已经不复存在。,第二节 区 域,区域的概念,邻域,平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域,|z-z0|,0|z-z0|,去心邻域,开集,设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。,区域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。,边界,设D为复平面上的一个区域，如果点 P 不属于D，但是在 P 的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 P 称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用L来表示。,闭区域,区域D连同它的边界L一起构成闭区域，记为,闭区域是区域么？,单连通域与复连通域,设D为复平面上的一个区域，如果在其中作任一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于D，则称 D 为单连通区域，否则称为复连通区域。,单连通域,复连通域,设E是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合E中的每一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为w=f(z)。,说明1,如果z的一个值对应着w的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个w的值，那么我们称f(z)是多值函数。,复变函数定义,复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy,z平面,w平面,w=iz=zei/2,举例,用复数表示平面点集,复变函数的极限与连续,极限的概念贯穿于高等数学之中。,一、复变函数的极限1.定义：设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数。如果任给实数0，若存在实数0，当D内的z满足 时，有 则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作：,2.几何意义当z在Z平面进入以z0为圆心，为半径的圆C时,相应的就在W平面进入以w0为圆心，为半径的圆C内。注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。,3.性质：,要求此时,2.连续函数,复平面上任意一点A与球的北极N的联线与球面相交于一A点。,这样，复平面上的有限远点与球面上N以外的点一一对应起来。,此球称为复数球，球面称为复球面。,2、无穷远点：,模为无限大的复数称之为无穷远点。,球与复平面相切于原点，,1、复球面（复数球）,第三节 复球面与无穷远点,A,3、全平面与开平面：,包含点的复平面称为全平面，或闭平面、扩充平面，它的几何模型就是复数球。,开平面指不含点的复平面，通常说的复平面是指开平面。,由于平面上模为无限大的点只对应复数球上点N，因此定义复数平面上点为一个点，即模为无限大，幅角无定义。,谢谢大家！,