《数学物理方法》第八讲.ppt

（）,前面分离变量得,圆盘上热传导分离变量得,主要问题,（1）（）的级数解法,（2）讨论由（）加边界条件构成本征问题与前讨论本征问题的共性,（）,第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题,2010.4.22,1二阶常微分方程的级数解法,一.常点邻域内的级数解法,考虑求解变系数二阶常微分方程,的解在指定点,和,在点,的邻域内的性质,的解析性有关。,若,和,都在,处解析,则称,为方程 的常点,否则称,之为 的奇点。,注,与方程的系数,定理(柯西定理):,若,和,在,内解,析,则初值问题,在,内有唯一的解析解,且该级数解的收敛半径至少是 R.,-幂级数解,级数法求解方程,设所求解为,分别写成,代入 得,即,比较,数得递推公式,从而将,同次幂的系,用,表示。,其中,是由初始条件确定的。,一般来讲,分成两个级数,第一项分别是,可将解,和,其,于是构成基础解系。,例1：,试级数法求解方程,例2.Legendre方程的级数解法,求如下的 Legendre 方程的麦克劳林级数解,这相当于方程 中取,可见,是,和,的常点。,称之为方程的阶数。,则,设方程的解为,于是,比较,的各次幂系数得,这样可由,经递推得到,具体地，,这样得到勒让德方程的级数解,其中,据比值判别法知上述幂级数的收敛半径为1。,一般来讲,当,时,和,右端级数均发散。,当,时,对特定的初值，可能使得,如当,时,则,只含有限项。,此时若,可,使得,有界。,有界。,若令,则可得,满足这些条件的解,是一个多项式，,称之为 2n 阶勒让德多项式，,记作,进一步整理可得,得,令,即,当,时,则,只含有限项。,此时若,可,使得,有界。,若令,可得方程的解,称之为 2n+1 阶勒让德多项式。,记作,类似上面的讨论可得,综上所述,定解问题,构成本征值问题，,的本征函数为n 阶勒让德多项式,第一类勒让德函数,其统一表达式如下：,本征值为,对应,也称为,其中,勒让德方程的解,称之为第二类勒让德函数。,中,另一个仍是无穷级数，,关于勒让德多项式的性质和应用将在后面讨论。,二.正则奇点附近的级数解法,即,二阶的极点,正则奇点。,定理(fuchs定理):,析,或,-广义幂级数解,例1.,其中,求 Bessel 方程,解：,方程可改写为,因为,为方程的正则奇点。,设方程有如下形式解：,的级数解。,则,代入方程得：,即,由此得,不妨设,可得,由上式得,分如下情况讨论：,(1),此时有,由此易得,其中,考虑到,可知,取,则可得特解,此级数解的收敛域为实数集。,称,为m 阶第一类Bessel 函数。,(2),情况1,类似过程易得特解,两个特解,线性无关,构成基础解系。,情况2,则上面关于,的讨论依然成立。,此时,为求一个特解,仍取,所得特解仍是,此时,情况3,线性相关,定义第二类 Bessel 函数：,可以证明,是 Bessel 方程 的特解,且与,线性无关。,易见,不论 m 取何非负值，,都是,的特解。,因此 有通解,定理3（Gauss定理）,设中,在,内解析，,是,的阶数高于一阶的极点，,是方程的非正则奇点，,内方程的基础解系为,但,或,的阶数高于二阶的,则在,这时称,极点，,三.非正则奇点附近的级数解法,或,而且可以证明，上述洛朗级数,中一定有无穷多项负幂项。,-洛朗级数解,2 Sturm-Liouville本征值问题,一.Sturm-Liouville 本征值问题,任意二阶方程,都可化为所,谓的 Sturm-Liouville 方程,此方程含有参数 l。,边界条件，使之构成特征值问题。,3.若,则可附加周期边界条件,Liouville 方程附加上述条件后构成 Sturm-Liouville,1.若,则可附加齐次边界条件，如,2.若,则方程存在一特解,该解在点 a 处有,界,据 Liouville 公式,方程还存在另一无关特解,也在点 a 处有界。,因此可附加自然边界条件,本征值问题。,二 本征值问题具有如下性质：,性质1.,连续或在边界上有,一阶极点,则本征值问题有无穷多个本征值,及对应的本征函数。,性质2.,所有本征值均非负。,性质3.,即,在前述三种边界条件下性质3 结论都成立。,性质4.,即任一具有分段连续的二阶导数和连续一阶,其中,绝对收敛且一致收敛的级数：,按本征函数系展开的级数称为广义傅里叶级数。,