《数学物理方法》第11讲.ppt

3.Bessel 函数在定解问题中的应用,求解定解问题,例 1.,这里u 与 f 无关，,解：,称为轴对称问题。,令,代入方程并整理可得,及,方程(*)的通解是,1.分离变量,解本征值问题,即,由此得,因此本征值,对应的本征函数为,由边界条件,进而得,将本征值代入方程(*)解得,求解另一常微，得级数解,因此方程的一般解为,即,利用不同特征函数间的加权正交性有,由初始条件定解,可求得,从而得,因此问题的解为,求解定解问题,例 2.,解：,这也是轴对称问题。,令,及,代入方程得,1.分离变量,时可得修正的Bessel,函数（下节讨论）。,解本征值问题,并可得本征值,和对应的本征函数,本征值代入方程,解得,求解另一常微，得级数解,所以,问题的一般解为,由另一组边界条件定解,之后可利用Fourier-Bessel 级数的系数公式求得,这样得到问题的解为,10.Legendre 函数的性质,2009.4.23,一.Legendre方程的引出,球形域上三维静电场问题中,外电势满足 Laplace,例：,方程。,分析：,即,求其分离变量解。,求解时常将其写成球坐标形式：,设解为,后两项与 r 无关,于是有,为方便,常把 l 写成 l(l+1).,于是(1)化为欧拉方程：,其通解为,上式可化为,(3)并自然周期条件可得,方程(4)整理为,称之为 Legendre 方程。,其中,该方程 添加自然边界条件,则(5)变为,此方程称为关联 Legendre 方程。,则F 亦然,m=0。,此时(6)成为,构成本征值问题,为,其本征值和本征函数,这样在轴对称假设下得到问题的级数解,进一步的求解须知 Legendre 多项式的性质。,后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。,二.Legendre多项式的性质,1.Legendre多项式的为微分表示,令,则,因此,即,因此,多项式,2.Legendre多项式的为积分表示,据复变函数中高阶导数公式,可得,L 是围绕 z=x 的任一正向闭曲线。,特别地,取半径为,的圆周为L,则,由此得,其中,化简得,此式称为Legendre 多项式的 Laplace 积分。,由积分表达式可得,3.Legendre多项式的母函数,若一个函数按某一自变量作幂级数展开时,其系数是,例如若,Legendre 多项式,则称该函数为Legendre 多项式的,母函数。,就称 f(x,t)为Legendre 多项式的母函数。,考虑复变函数,将其展开为,则有,L 是区域|t|1 内任一正向闭曲线。,作变换,L1 是 L 在上述变换下的象,是含点u=x 的闭曲线。,则,根据高阶导数公式,得,因此,母函数。,即 w(x,t)为Legendre 多项式的,Legendre 多项式满足如下递推公式：,4.Legendre多项式的递推公式,1.,2.,3.,4.,由,两边对 t 求偏,导数得,整理即得 1.,偏导数得,于是,因为,故,即 2 成立。,两式相减得,即,此即 3。,由 2,3 可得 4。,