《数字信号处理教学课件》图像变换.ppt
讲解内容 1.图像变换的目的、要求和应用 2.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、性质及其应用目的 1.熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；2.掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法,第三章 图像变换,第三章 图像变换,图像变换的目的在于：使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：正交变换必须是可逆的；正变换和反变换的算法不能太复杂；正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。例如交流电频率为5060Hz（交流电压）中波某电台1026kHz（无线电波）,第三章 图像变换,图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为频率域（Spatial Frequency Domain）。,第三章 图像变换,第3章 图像变换,每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅立叶变换 余弦变换 正弦变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 K-L变换 小波变换,本章讨论常用的傅立叶变换。,3.2 傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在-T/2,T/2上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在-T/2,T/2可以展成傅立叶级数 其复数形式为 其中 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。,3.2.1 连续函数的傅立叶变换 1.一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为 若已知F(u)，则傅立叶反变换为 两式称为傅立叶变换对。,这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。,例：矩形函数的傅立叶变换,函数：f(x)=A 0=x=(u)=+-(x)e j2utdx=0 A e j2utdx=(-A/j2u)(e-j2u-1)=(A/j2u)(eju-e-ju)e-ju=(A/u)sin(u)(e-ju)|(u)|=(A/u)|sin(u)(e-ju)|=A|sin(u)/(u)|*e jax dx=e jax/ja+c sin(x)=(e jx-e jx)/2j=(1-e j2x)e-jx/2jsin(u)=0(u=1/时)|e ju|=|cos(u)-jsin(u)|=1 sinx2+cosx2=1,2.二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为,|F(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)1/2(3.211)(u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v)(3.212)E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)(3.213),二维连续函数 f(x,y)的傅立叶变换,(a)矩形函数(b)图像表示(c)傅立叶谱,一些二维函数及其傅立叶谱,3.2.2 离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如图所示。,将序列表示成 f(x)=f(x0+xx)即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。,被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F(u)=式中u=0，1，2，N1。反变换为 f(x)=式中x=0，1，2，N-1。,例,f(x)是一个连续函数，x=0,1,2,3时，分别取样得到 f(0)=2,f(1)=3,f(2)=4,f(3)=4由公式：(u)=(1/M)f(x)cos2 ux/M-jsin2 ux/M 3得F(0)=1/4*f(x)exp-j20X/M/所有取样点都贡献 x=0/u=0,exp-j20X/M=1=1/4*f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3.25 3 F(1)=1/4*f(x)exp-j2X/M/u=1 x=0=1/4*(2exp0+3*exp-j/2+4*exp-j+4*exp-j3/2)=1/4-2+j/按欧拉公式算得F(2)=1/4*(2exp0+3*exp-j+4*exp-j2+4*exp-j3)=-1/4*1+j0,F(3)=1/4*(2exp0+3exp-j3/2+4exp-j3+4*exp-j9/2)=1/42+j|F0|=3.25|F1|=(2/4)2+(1/4)21/2=(5)/4|F2|=(1/4)2+(0/4)21/2=1/4|F3|=(2/4)2+(1/4)21/2=(5)/4,2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=(3.220)式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f(x，y)=(3.221)式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,原图,离散傅立叶变换后的频域图,例如 数字图像的傅立叶变换,3.2.3 二维离散傅立叶变换的若干性质 离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。1周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有 F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v)这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。,2.分离性 一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。,x,y,x,v,x,v,1-D离散傅立叶变换,用两次一维DFT计算二维DFT,3.旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式：,做代换有：,如果 被旋转,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：,4.卷积定理,3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用,傅立叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等。,a)有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像,用傅里叶变换去除正弦波噪声示例,3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用,a)lena图 b)lena图的频谱,3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用,c)增强纵轴上某一谱段的强度 d)傅里叶反变换的结果,3.2.5 傅立叶变换在图像处理中的应用,
