《弹塑性力学》第四章应力应变关系(本构方程).ppt
2023/8/31,1,4-1 应变能、应变能密度与弹性 材料的本构关系,第四章 应力应变关系（本构方程）,4-2 线弹性体的本构关系,4-3 各向同性材料弹性常数,2023/8/31,2,本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。,ji,j+fi=0,ij=(ui,j+uj,i)/2,第四章 应力应变关系（本构方程）,2023/8/31,3,共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji，ij=ji，,ij=ji=fij(kl),第四章 应力应变关系（本构方程）,还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：,2023/8/31,4,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,1.1 应变能U 和应变能密度 W（比能）,如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。,2023/8/31,5,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,外力做实功 A：A=U 物体的应变能U,W：应变能密度单位体积的应变能。,2023/8/31,6,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,1.2 应变能密度W与材料的本构关系,当外载，缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时外力功增量变化。,2023/8/31,7,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,在某一时刻t：,产生,应变能密度W 的表达式？,2023/8/31,8,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,时刻达到 t+t：位移有增量,应变增量,外力功增量：,2023/8/31,9,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,：函数增量,应变能增量A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。,2023/8/31,10,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,代入外力功增量,2023/8/31,11,W为 ij的函数。,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,2023/8/31,12,因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，所以W 为它的全微分,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,2023/8/31,13,比较上面二式，得：,本构关系（方程）,适用于各种弹性情况（线性、非线性）,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,2023/8/31,14,由,积分得,应变能密度定义式。,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,2023/8/31,15,4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的,本构关系,应变能密度定义式,一些书上写为,2023/8/31,16,4-2 线弹性体的本构关系,2.1 各向异性材料,在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。用指标符号表示：ij=Eijkl kl,Eijkl 共有81个元素（四阶张量常数）。,由于 ij=ji，kl=lk,2023/8/31,17,4-2 线弹性体的本构关系,=c,Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵表示本构关系,2.1 各向异性材料,2023/8/31,18,4-2 线弹性体的本构关系,=c,2.1 各向异性材料,2023/8/31,19,4-2 线弹性体的本构关系,根据,，得,则 C 为对称矩阵 C=CT。,2.1 各向异性材料,2023/8/31,20,4-2 线弹性体的本构关系,2.1 各向异性材料,*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。,弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化 C 中系数。,Eijkl 的独立系数为21个材料为各向异性线弹性材料。,2023/8/31,21,4-2 线弹性体的本构关系,2.2 具有一个弹性对称面的材料,若物体内各点都有这样一个平面，对此平面对称方向其弹性性质相同，则称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为弹性主轴。,2023/8/31,22,4-2 线弹性体的本构关系,如取弹性对称面为x1 x2面，x3为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系xi，且x1=x1，x2=x2，x3=-x3。在两个坐标下，弹性关系保持不变，则C中元素减少为13个独立系数。,2023/8/31,23,4-2 线弹性体的本构关系,代入,得,2023/8/31,24,4-2 线弹性体的本构关系,应变张量具有相同关系。,2023/8/31,25,4-2 线弹性体的本构关系,代入两组坐标系下的弹性方程=c,比较得,2023/8/31,26,4-2 线弹性体的本构关系,2.3 具有三个正交弹性对称面的材料正交各向异性材料,木材、增强纤维复合材料属此种材料。取x1，x2，x3为弹性主轴。C中独立系数减少为9个：,2023/8/31,27,4-2 线弹性体的本构关系,2.3 具有三个正交弹性对称面的材料正交各 向异性材料,特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。,2023/8/31,28,4-2 线弹性体的本构关系,2.4 横观各向同性材料弹性体对一个轴对称,若通过物体每一点可作这样的轴（如x3轴），在此轴成垂直的平面内，所有射线方向的弹性性质都是相同的，称这个平面为各向同性面，如地层属于此类。C中独立系数为5个：,2023/8/31,29,4-2 线弹性体的本构关系,2.4 横观各向同性材料弹性体对一个轴对称,2023/8/31,30,4-2 线弹性体的本构关系,2.5 各向同性材料,各个方向弹性性质一样，C中仅有2个独立系数：,2023/8/31,31,4-2 线弹性体的本构关系,2.5 各向同性材料,2023/8/31,32,4-3 各向同性材料弹性常数,3.1 本构关系用、G表示,采用指标符号表示：,其中,应变第一不变量（体积应变）,2023/8/31,33,4-3 各向同性材料弹性常数,3.1 本构关系用、G表示,或,应力第一不变量；,2023/8/31,34,4-3 各向同性材料弹性常数,3.1 本构关系用、G表示,两个第一不变量关系,2023/8/31,35,4-3 各向同性材料弹性常数,3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示,令,或,2023/8/31,36,4-3 各向同性材料弹性常数,3.2 本构关系用弹性模量E和泊松系数 表示,则本构关系变为材料力学中最初见到的广义虎克定理的形式：,2023/8/31,37,4-3 各向同性材料弹性常数,采用指标符号表示：,2023/8/31,38,4-3 各向同性材料弹性常数,体积压缩模量。,两个第一不变量关系,或,2023/8/31,39,4-3 各向同性材料弹性常数,E 拉压实验测定，G 扭转测定，压缩实验测定，K 静水压力实验测定,2023/8/31,40,作业：,1.证明，对各向同性弹性体，若主 应力123，则相应的主应变 123。,2将一小物体放在高压容器内，在静水压力 为q=0.5N/mm2作用下，测得体积应变 为-0.410-4,若泊松系数=0.3，试求该物 体的弹性模量E。,2023/8/31,41,作业：,3.已测得各向同性材料的表面某点电阻片 的三个应变分量：,试求该点的主应力。假定 材料的弹性模量:E=2.1107Pa,泊松系数=0.3 以及 z=yz=zx=0。,
