8用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程.ppt

Dec.20 Mon.Review,特殊情形,1).当,不是特征根时，,则特解具有形式,2.当,是特征根时，,则特解具有形式,9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程,基本思想：,对应齐次方程的通解,例 求 的通解；,解方程,若已知齐次方程,的一个不恒为零的解,hw：p301 5,8.,9 欧拉方程,Euler Equation 欧拉方程,常系数线性微分方程,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A=1,所求通解为,例3.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,hw：p319 2,4.,Euler Equation：,一类特殊变系数非齐次线性微分方程,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,令,将方程转化为常系数微分方程。,将自变量换为,上述结果可以写为,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,例,hw：p319 2,4.,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,