隐函数相关变化率.ppt

导数与微分,1,3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,第三章 导数与微分,隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率,小结 思考题,对数求导法,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,并注意到其中变量y是x的函数.,例,解,解得,虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.,允许在 的表达式中含有变量y.,一般来说,隐函数,求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数,从中解出即可.,于是y的函数便是x的复合函数,的方程.,y是x的函数,例,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例,解,7,或解,解得,练习,考研数学一,3分,解,确定,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例,解,等式两边取对数得,例,解,等式两边取对数得,一般地,两边对求x导得,13,复合函数,改写成,如上例,则,只要将,幂指函数也可以利用对数性质化为:,再求导,练习,解答,等式两边取对数,解答,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例,解,所求切线方程为,例,解,例,解,若曲线由极坐标方程,给出,利用,可化为极角 参数方程,因此曲线,切线的斜率为,例,解,将曲线的极坐标方程转换成,则曲线的切线斜率为,所以法线斜率为,又切点为,故法线方程为,即,参数方程,26,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率解法三步骤,找出相关变量的关系式,对t 求导,相关变化率,求出未知的相关变化率,三、相关变化率,相关变化率,之间的关系式,代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1),(2),(3),例,解,仰角增加率,例,解,水面上升之速率,例,解,(1),在此人的正下方有一条小船以,的速度在,与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的,速度.,对t求导,(2),(3),五、小结,隐函数求导法则:直接对方程两边求导;,对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导:实质上是利用复合函数和反函数求导法则;,相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.,注意:变量y是x的函数.,思考题1,思考题1解答,不对,33,思考题 2(是非题),正确解答,试问,对吗?,非,作业,习题3.4(83页),1.(7)(8)3.(2)5.(3)(4)6.(4)(8)8.(2)9.(4)10.(2)15.18.,练 习 题,练习题答案,