阶线性常系数微分方程.ppt
,二阶常系数,第五节,线性微分方程,第八章,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,是常数）,二阶线性常系数齐次微分方程,一、,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,特征方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,二阶线性常系数非齐次微分方程,二、,第八章,1、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,的系数行列式,P10,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即,因此必需再附加,一个条件,方程的引入是为了简化计算.,方程3,方程,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,方程3,例4.,的通解为,的通解.,解:将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,故所求通解为,积分得,解上述可降阶微分方程,可得通解:,例5.,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,故原方程通解为,2、待定系数法,一、,二、,若非齐次微分方程,的右端项具有下面的特殊形式，则可用待定系数法,来求特解。,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,（一）、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为 m 次多项式.,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为 m 次待定系数多项式,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,例6.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例7.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例8.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,（二）、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将 f(x)转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将 f(x)变形,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程 的特解.,设,则 有,特解:,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为 m 次多项式.,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式.,本质上为实函数,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例9.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例10.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例11.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,内容小结,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,
