闻邦椿非线性振动第6章平均法.ppt
单自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为#(7-40)式中#(7-41)单自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为#(7-42)式中#(7-43),二自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为(7-40)式中(7-41)二自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为(7-42)式中(7-43),图 7.1 机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编号）,（a）1瓦轴振幅值谱,图7.9 中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约1100r/min,约19Hz）,(b)2瓦轴振幅值谱,(c)8瓦轴振幅值谱,（a）有裂纹时振动波形,（b）有裂纹高精度FFT谱,主振动与亚谐振动,第六章 平均法,6.1 平均法的由来6.2 含非线性弹性力和阻尼力的自治系统 6.2.1 常数变易法 6.2.2 非线性函数直接展开法6.3 含非线性惯性力的自治系统（）6.4 含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统 6.4.1 非共振情况 6.4.2 共振情况6.5 含非线性惯性力的非自治系统（）,6.1 平均法的由来 平均法是由常数变易法演变而来的非线性方程的一种独特的近似解法。为此，这里首先介绍常数变易法。根据常微分方程的基本知识，若已知齐次线性方程的基本解，根据常数变易法可以求出非齐次线性方程的解。微分方程组右边可以分成两个部分，即(6-1)略去 和，得简化方程式(称为派生方程)(6-2),假设方程(6-2)的通解为已知，即(6-3)上式中的 和 为积分常数，这一简化方程式的解称为派生解 常数变易法就是将派生解中所含积分常数、看作是新的因变量，再作为原始方程的解，这时，(6-1)式可写为,(6-4)因为、是方程(6-2)的解，所以(6-5),因而可以写成(6-6)由于、是该方程的通解，它必须满足任意给定的初始条件，所以有(6-7),因此，从方程(6-6)可解得两个变易的常数满足：(6-8)如果方程(6-2)是可解的，即(6-3)式可以得出，那么根据(6-8)问题也就解决了。(6-3)式可以看作是将因变量(x,y)变换成(,)的转换式。,例如：若有以下非线性方程(6-9)其中为小参数，把它改写成一阶联立方程(6-10)令=0,得派生方程：(6-11),其通解为(6-12)式中,是积分常数。取这个解作为派生解，并把,看作新的变量，应用常数变易法，相应于式(6-8),可解出:(6-13)这种方法是从派生解出发，应用常数变易来描述非线性项的影响，称为平均法。目前有多种平均法，如常数变易法、非线性函数直接展开法等。,6.2 含非线性弹性力和阻尼力的自治系统,6.2.1 常数变易法 在平均法中，把派生解的振幅与相位作为变易的常数,也就是说对派生解的正弦波加以振幅调制与频率调制来近似表示非线性振动系统的振动。方程(6-13)可看作是原方程通过式(6-8)进行变量变换后，得到的关于 变量的微分方程。如果我们能精确求出方程(6-13)的解，那么问题就解决了，但事实上，往往无法求出方程的精确解。如果等于零，那么在稳态振动的情况下，都是常数；如果不为零，但很小，那末，将随时间t 缓慢变化，但是仍可以看作平滑变化的量与小的振动变化量迭加而成的。用平均值，即平滑变化的量来表示，而略去微小的波动。当振幅 用平均值 表示,相位角 用平均值 表示,这时式(6-12)可写为(6-14),对式(6-13)取平均值(6-15)当非线性函数已知时，可按上式计算出 和 的平均值。假如我们要进一步求出包含高次谐波项在内的改进的一次近似解，也可以从式(6-13)出发，将（613）中的 的右端项，展为富氏级数：,(6-16),原先我们所取的平均值相当于上式中仅保留 的项，即(6-17)式(6-15)与式(6-17)是等价的，如作更进一步的近似，则有(6-18)对式(6-16)积分，即可求得(6-19),6.2.2 非线性函数直接展开法 我们还可以先将非线性函数按富氏级数展开，即(6-20)其中的富氏系数 和 可由下式求得：(6-21),由式(6-20)可看出,和 已在式(6-17)中考虑,式(6-17)可写为(6-22)而将余下的非线性作用力中的常数项 及高次谐波项代入方程(6-9),得(6-23)该方程的解为(6-24)因此，方程(6-9)的一次近似解为(6-25),例6.2.1 已知如下非线性方程：解:令派生解根据(6-13)可得按照式（6-17），有,积分后得式中之 为积分常数，设初始条件为当t=0时，有x=A,则一次近似为 进而来求改进的一次近似解，由式(6-16)得,相当于式(6-19)有 按照(6-25)，经简化得 为满足初骀条件,x(0)=A，应有 即。最后有,6.4 含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统对于拟线性方程(6-39)与自治系统相似，设方程的近似解为(6-40)式中的、由以下方程决定。,(6-41),为了用平均法求方程的解，将上式右端按傅立叶级数展开(6-42)下面分别讨论非共振情况与共振情况。,6.4.1 非共振情况 与自治系统的情况相似，和可分成缓慢的平均变化的分量、，以及短促的振动变化分量，而该平均分量、可近似看成是由式(6-17)关于t的二个周期 取平均值时得到的以下方程确定：(6-43)如果已从这个方程解得、，则改进的一次近似解为(6-44)将非线性函数直接展为富氏级数，也可导出平均法的基本公式。,设 为下述富氏级数展开式(6-45)的系数，则(6-46)利用上式稍作计算，可得略去 项的改进的一次近似解：(6-47)式中的、可由式(6-43)的解给出。,6.4.2 共振情况 设 r、s 是互质的整数，对于近共振情况，应满足以下条件(6-48)在这种情况下，在 和 中至少有一项使mr+ns=0,同时有(6-49)方程(6-41)成为(6-50),根据直接展开法，将上式等号后的函数直接展为富氏级数，有(6-51)求上式的平均值，平均法只包含 项，得到(6-52)平均法与以前讲过的几种方法的差异是这种方法不能采用简单积法来求解。若 和 已经求出，则一次近似解完成。再考虑高阶振动量，可以得如下较精确的解：,(6-53)于是有(6-54)下面采用将非线性函数直接展为富氏级数的方法，直接给出平均法的基本公式。用 代替 和，并略去高阶小量，得(6-55)这里的结果可以用来讨论主共振，超、次谐波共振等情况。,例6.4.1 用平均法求以下小阻尼杜芬方程的解。解:假设 其它。同时。除了(0，0)，(2,0),(4,0),(1,1)等以外，当=1 时也会 发生共振。,非共振情况：，此时 在这种情况下，当，方程有以下的稳态解可以证明这个解是稳定的。,共振情况：。可令,这时有 对于定常情况，,可求出 由上式可求出三个不同大小的振幅(即以上方程有的三个解)。,
