重积分概念性质.ppt

,特点：平顶.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶(curved vertex surface).,曲顶柱体的体积(volume),一、问题的提出,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，先看动画演示.,刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.,曲顶柱体体积的计算步骤是：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积.,曲顶柱体的体积,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，求对应小曲顶柱体体积的近似值.,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，求质量.,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,二、二重积分的定义及其存在性,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,（2）二重积分的二要素：积分区域；被积函数.,对二重积分可积性的说明：,（1）对二重积分同样可以引入上和、下和的概 念，并得出可积的充要条件.见书定理21.4；21.5.,（2）利用上二定理可得下述二存在性定理,定理1.有界闭区域D上的连续函数在D上必可积.,二重积分的几何意义:,当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体体积的负值,设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，,若f(x,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上，,推论,.若函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，且仅在,有限个点处不连续，则f(x,y)在D上可积。,定理2.,则f(x,y)在D上可积。,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素(areal element)为,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,设、为常数，则,性质2,对积分区域具有可加性,性质3,若 为D的面积,则,性质4,若在D上,特殊地,则有,推论.若在D上,且二者不恒等.则有：,性质5,性质6,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,练 习 题,练习题答案,作业（-217）,习题.3.5.(反证）,