重积分及其简单应用.ppt
4.6 二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,【二重积分的概念】,1.曲顶柱体,非负且连续函数.,设 是定义在有界闭区域 上,我们称,以曲面 为顶,面上,的区域 为底,以平行于 轴,且沿着底面区域 的边界,曲线的直线围成的立体,称为曲顶柱体.,二重积分及其简单应用,2.曲顶柱体的体积,特点：平顶.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,底面积 高,柱体体积=,二重积分及其简单应用,求曲顶柱体的体积的步骤：,的面积为,分割:,将区域 任意,分割成 个小,区域：,第 块小区域,二重积分及其简单应用,求近似代替:,任取一点,求和:,二重积分及其简单应用,取极限:,3.二重积分的概念,设 是定义在有界闭区域 上的,有界函数.,将 任意分成 个小区域,区域的面积.,其中 表示第 块小,在每个小区域 上任取,一点,作乘积,并作和,令,当 时,和式 的极限存在.,且其值与,的分法和点 的选法无关,并称此,极限值为 在D上的二重积分.,记作 即,二重积分及其简单应用,其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,二重积分及其简单应用,称为被积函数,称为积分变量.,二重积分及其简单应用,说明:,1、定义中对区域D的划分是任意的.,2、若 在闭区域D上连续,则函数,在该区域上可积.,3、在直角坐标系中,一般用平行于坐标轴的,直线网来划分区域D，,则面积元素为,二重积分及其简单应用,故二重积分可表示为,4.二重积分的几何意义,当被积函数大,的体积,二重积分是柱体,于零时.,二重积分及其简单应用,当被积函数小,于零时.,的体积的负值,二重积分是柱体,当被积函数有正有负时.,二重积分的值就等于各个部分,区域上曲顶柱体体积的代数和.,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,【二重积分的性质】,性质2,被积函数中的常数因子可以提到,积分号外面,即,为常数,性质1,有限个函数代数和的二重积分,等于各个函数二重积分的代数和,二重积分及其简单应用,即,性质3,若积分区域 被一曲线分成两个,部分区域 和 则在 上的二重积,分等于在 和 上二重积分的和.,即,二重积分及其简单应用,性质4,若在区域 上,且 的面,积为 则,性质5,若在区域 上,恒有,则,二重积分及其简单应用,解,如图所示,三角形斜边方程,在 内有,二重积分及其简单应用,由性质得,二重积分及其简单应用,性质6,设 分别是函数 在 上的,解：,如图所示，,积分域 的边界,为圆周区域 的面积为,在 上有,即,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,性质7,若函数 在有界闭区域 上连续，,为 的面积，则在 内至少存在一,点 使得,【二重积分的计算】,二重积分及其简单应用,类型1,积分区域 是边平行于坐标轴的矩形域,设二元函数 是定义于,上的连续函数,则二重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,注,1、二重积分的计算就是分别对变量,和 作两次定积分的计算.,2、化二重积分为二次积分的关键是:,选择积分次序和确定积分上、下限,即积分区域D是一矩形时,其积分,次序可交换,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,3、几种写法的比较,、已知:,比较,二重积分及其简单应用,、已知:,比较,二重积分及其简单应用,解法一：,先对 再对 的累,次积分.,对 积分时要固定,为常数.,二重积分及其简单应用,解法二：,先对 再对 的累,次积分.,对 积分时要固定,为常数.,二重积分及其简单应用,说明:,1、若函数可积，,且，则,如,二重积分及其简单应用,2、有的题用两种方法均可,且难移程度,相同,但有的题只能对一种可行,另一,种则不行或难移程度不同.,解:,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,解:,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,注:,、利用直系计算二重积分的步骤：,（1）画出积分区域的图形,求出边界,（3）确定积分限，化为二次定积分,（2）根据积分域类型,确定积分次序,（4）计算两次定积分，即可得出结果,曲线交点坐标,二重积分及其简单应用,、积分限确定法:,域中一线插,域边两线夹，,内限定上下，,外限依靠它.,二重积分及其简单应用,此时D称为Y型区域.,若积分区域D用 来表示.,类型2,二重积分及其简单应用,Y型区域的特点：,区域边界相交不多于两个交点.,计算公式：,穿过区域且平行于 轴的直线与,二重积分及其简单应用,解:,解方程组,如图所示,解得交点,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,解:,1、如图,解方程组,解得交点,二重积分及其简单应用,2、如图,解方程组,解得交点,二重积分及其简单应用,若积分区域D用 来表示.,类型3,此时D称为X型区域.,二重积分及其简单应用,X型区域的特点：,计算公式：,穿过区域且平行于 轴的直线与,二重积分及其简单应用,解法一:,如图所示,则 可表示为：,若按先对 再对 积分,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,解法二:,如图所示,三条直线的交点为,若按先对 再对 积分,则 可表示为：,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,说明,在计算过程中,恰当地选择积分次序,是化二重积分为二次积分的关键.,解:,如图所示,若按先对 再对 积分,二重积分及其简单应用,则 可表示为：,二重积分及其简单应用,说明,本题如果先对 积分,后 对积分，则不,能计算出结果.因为 没有初等函数.,二重积分及其简单应用,解:,1、如图所示,若按先对 再对 积分,则 可表示为：,二重积分及其简单应用,2、如图所示,解方程组,解得交点,若按先对 再对 积分,则 可表示为：,二重积分及其简单应用,二重积分及其简单应用,类型4,若区域为组合域，如图：,则:,
