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第五章曲线运动力学是关于运动的科学，它的任务是以完备而又简单的方式描述自然界中发生的运动。一一基尔霍夫I到目前为止，我们只研究了物体沿着一条直线的运动。实际上，在自然界和技术中，曲线运动随处可见。水平抛出的物体，在落到地面的过程中沿曲线运动；地球绕太阳公转，轨迹接近圆，也是曲线。抛出的物体、公转中的地球，它们的运动都是曲线运动(ClIrViIinearmotion)。从现在开始，我们把目光转向抛体运动、圆周运动，以及更一般的曲线运动，从中你会看到，我们研究直线运动时的思路，原则上同样可以用来处理曲线运动。通过本章和下一章的学习，你还会发现：地球上物体的运动和天体的运动原来遵从同样的科学规律！1曲线运动从现在开始，我们研究质点沿曲线运动时所遵循的规律。这一节的任务是找出描述曲线运动的方法，下一节将根据牛顿运动定律得出质点做曲线运动的规律。这个思路与研究直线运动时是一样的。描述直线运动时要用到位移和速度两个物理量，描述曲线运动时也是这样。曲线运动的位移研究物体的运动时，坐标系的选取是很重要的。例如我们把个物体沿水平方向抛出，它不会一直在水平方向上运动，而是沿着一条曲线落向地面。这种情况下无法应用直线坐标系,而应该选择平面直角坐标系。例如,这个坐标系的原点可以选在物体离开手掌时的位置，同时让“轴沿水平抛出的方向、y轴沿竖直向下的方向，如图5.1。1基尔霍夫(GustavRobertKirchhoff.1824-1887),德国物理学家，对电路和热粕射的理论有杰出的贡献，得出了关于电路和热辐射的两个“基尔霍夫定律”。OA在y方向的分矢量图5.1”质点做曲线运动时的位移矢量当物体运动到A点时，它相对于抛出点的位移是OA,可以用/表示。然而这类问题中位移矢量/的方向在不断变化，运算不太方便，所以要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来代表它。由于两个分矢量的方向是确定的，所以只用A点的坐标以、用就能表示它们，于是问题就简单些了。过去建立平面直角坐标系时总使y轴的方向朝上，其实朝下也是可以的。但这时要注意，处于X轴下方的点的纵坐标不是负值而是正值。思考与讨论观察图5.1-2、图5.1-3描述的现象，你能不能说清楚，砂轮打磨下来的炽热微粒、飞出去的链球，分别沿着什么方向运动？图5.12微粒沿什么方向飞出？图5.13链球沿什么方向飞出？曲线运动的速度运动员掷链球时，链球在手的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样，可见做曲线运动的物体，不同时刻的速度具有不同的方向。所以，在研究曲线运动的速度时，我们首先考虑怎样确定物体在某一时刻的速度的方向。演示如图5.1-4,水平桌面上摆一条弯曲的轨道，它是由几段稍短的弧形轨道组合而成的。通过压缩弹簧或者斜面使钢球由轨道的C端滚入，在轨道的约束下做曲线运动。在轨道的下面放一张白纸，蘸有墨水的钢球从出口A离开轨道后在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在A点的运动方向。图5.1-4钢球离开轨道时的速度方向与轨道（曲线）有什么关系？拆去一段轨道，钢球的轨道出口改在Bo用同样的方法可以记录钢球在轨道B点的运动方向。白纸上的墨迹与轨道（曲线）有什么关系？讨论曲线运动的速度方向时要明确一个数学概念：曲线的切线。在初中数学里我们己经知道圆的切线，对于其他曲线，切线指的是什么？如图5.15,过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B点逐渐向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫做曲线在A点的切线（tangent）。图5.1-5A、B两点靠得很近时,直线AB就成了曲线的切线。有了切线的概念，我们就可以说：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。速度是矢量，它既有大小，又有方向。不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就有了加速度。曲线运动中速度的方向在变，所以曲线运动是变速运动。速度是矢量，它与力、位移等其他矢量一样，可以用它在相互垂直的两个方向的分矢量来表示，这两个分矢量叫做分速度.我们仍以被抛出的物体的运动为例（图5.1-6）o物体的速度记做V，沿曲线的切线方向，打、Vy是它在两个坐标轴方向的分速度。如果速度方向与X轴的夹角是仇按照锐角三角函数的定义，两个分速度打、力与速度V的关系是Vx=VCOS0例题飞机起飞时以300kmh的速度斜向上飞，飞行方向与水平面的夹角为30。求水平方向的分速度VJX和竖直方向的分速度Vyo图5.17求水平方向和竖直方向的分速度解把速度V=300km/h按水平方向和竖直方向分解，如图5.1-7,可得Vx=VCOS30°=260km/hVy=VSin30°=150km/h飞机在水平方向和竖直方向的分速度分别是260km/h和150km/h。做一做2如图5.1-8,取根稍长的细杆，一端固定一根铁钉，另一端用羽毛或纸片做成尾翼，这样就得到了一个能够显示曲线运动速度方向的“飞镖”。在空旷地带把飞镖向斜上方抛出，飞镖在空中的指向就是它做曲线运动的速度方向。飞镖落至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的速度方向。改变飞镖的投射角，观察它在飞行过程中直到插入地面时的不同角度。图5.18显示曲线运动速度方向的飞镖与飞镖在空中做曲线运动的轨迹相联系，体会曲线运动的方向与轨迹曲线的关系。运动描述的实例分析下面的实例，对于怎样用物体的位置（位移）和速度描述它在平面中的运动，可以有些更清晰的认识。演示在一端封闭、长约Im的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体R。将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧（图5.1-9甲）。图5.1-9观察红蜡块的运动将玻璃管倒置（图乙），蜡块R沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一个米尺，可以2本书中，“做一做”栏目和“说一说"栏目，其中的内容是扩展性的，不是基本教学内容。同学们可以根据自己的条件在老师的指导下选择学习。看到，除了开始的一小段外，蜡块上升的速度大致不变。再次将玻璃管上下颠倒，在上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动（图丙）。以黑板为参照物观察蜡块的运动。蜡块在做什么样的运动？它在黑板上留下的轨迹是直线吗？也许轨迹是黑板平面内的一条曲线？它的运动是匀速运动吗？也许速度的大小或方向有些变化？这些问题都不是仅凭“看”就能准确回答的。崎块的位置首先，以蜡块开始运动的位置为原点O,水平向右的方向和竖直向上的方向分别为X轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系（图5.1-10）。图5.1-10在平面直角坐标系中研究蜡块的运动我们设法写出始块的坐标随时间变化的关系式。蜡块的X坐标的值等于它与），轴的距离，y坐标的值等于它与X轴的距离。若以以表示玻璃管向右移动的速度，以岭表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有X=vxty=yf请你考虑：怎样计算蜡块对于原点的位移（大小和方向）与时间的关系？蜡块的速度速度y与以、心的关系己经在图5.1-10中标出，因此可以根据勾股定理写出它们之间的关系V=V2÷Vy2根据三角函数的关系，从图5.1-10还可以确定速度y的方向，即角。的正切tan=-蜡块运动的轨迹蜡块沿着什么样的轨迹运动？在数学上，关于x、y两个变量的关系式描述一条曲线（包括直线），而在上面小），的表达式中，除了X、y之外还有一个变量3我们应该从这两个式子中消去r,这样就得到由于必和上丫都是常量，所以燃也是常量，可见），=”代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。这里说的“常量”，指的是它不随坐标小），变化。也就是说，在任何位置，中的值都y是样的。因此，y=乎X具有正比例函数关系的形式。y物体做曲线运动的条件物体在什么条件下做曲线运动？观察下面的实验。演示一个在水平面上做直线运动的钢球，从侧面给它一个力，例如在钢球运动路线的旁边放一块磁铁，观察钢球的运动。图5.1/1钢球在磁体吸引下怎样运动？当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。向斜上方抛出的石子，它所受重力的方向与速度的方向不在同一条直线上，它做曲线运动；人造卫星绕地球运行,地球对它的引力与速度方向不在同一条直线上,卫星做曲线运动。图5.1-12地球对卫星的引力与速度方向不在同一条直线上根据牛顿第二定律，物体加速度的方向与它受力的方向总是一致的。当物体受力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，加速度的方向也就与速度方向不一致了，于是物体的速度方向要发生变化，物体就做曲线运动。本节前面对曲线运动的位移和速度的研究是运动学的内容;而这里关于物体做曲线运动的条件的研究则是动力学的内容。问题与练习1 .一个质点从平面直角坐标系的原点开始运动并开始计时。它在力时刻到达x=2.0m、y=1.5m的位置；在及时刻到达垃=3.6m、”=4.8m的位置。作草图表示质点在0和0时间内发生的位移Zi和/2,然后计算它们的大小及它们与X轴的夹角仇和仇。2 .在许多情况下，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员做加速运动。随后，降落伞张开，跳伞员做减速运动（图5.1-13）。速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度做匀速运动，直至落地。无风时某跳伞员竖直下落，着地时速度是5ms.现在有风，风使他以4m/s的速度沿水平方向向东运动。他将以多大速度着地？计算并画图说明。图5.1-133 .跳水运动是一项难度很大又极具观送性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图5.1-14是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度口入水。整个运动过程中，在哪几个位置头部的速度方向与入水时V的方向相同？在哪几个位置与V的方向相反？在图中标出这些位置。图5.1-14某跳水运动员头部运动的轨迹4 .汽车以恒定的速率绕圆形广场周用时2min,每行驶半周，速度方向改变多少度？汽车每行驶IOs,速度方向改变多少度？先作一个圆表示汽车运动的轨迹，然后作出汽车在相隔IOS的两个位置速度矢量的示意图。5 .一个物体的速度方向如图5.1-15中y所示。从位置A开始，它受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向看，下同）的合力。到达B时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。达到C时，又突然改为向前但偏左的力。物体最终到达D。请你大致画出