第七节二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程,I.,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为 m 次多项式.,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为 m 次待定系数多项式,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例1,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,原方程通解为,例2,代入方程,得,原方程通解为,法二,解,例3,则由牛顿第二定律得,解此方程得,代入上式得,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐次方程通解,代入原方程,得,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,例4,法二,对应齐次方程通解,作辅助方程,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,代入辅助方程,得,解,对应齐次方程通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,例6,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,即,小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.,补充题:,1.写出微分方程,的待定特解的形式.,解:,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,2.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,3.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,4.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,5.,有特解,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,的解.,6.,设函数,内具有连续二阶导数,(1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,且,解:,上式两端对 x 求导,得,(1)由反函数的导数公式知,代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,7.,且满足方程,解:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,8:设,解:,则有,解初值问题:,得:,练 习 题,练习题答案,