质点的运动微分方程.ppt
第十章 质点的运动微分方程,101 动力学基本问题,102 质点运动微分方程,103 质点动力学两类基本问题,出自牛顿名著自然哲学之数学原理，总结了伽利略和惠更斯的研究成果。,使用条件：,动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。,主要内容：,牛顿三定律,第一定律：（又称惯性定律）,101 动力学基本定律,质点如不受其它物体（力）作用，则将保持静止或匀速直线运动的状态。,任何质点保持其运动状态不变的特性，称为惯性。而质点的匀速直线运动又称为惯性运动。,惯性运动的现象：站在匀速直线运动汽车上的人，在汽车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。,第二定律：（力与加速度之间关系的定律）,质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加速度的方向与力的方向相同。,式为质点的加速度，m为质点的质量。F为作用于质点上之外力。若同时受到几个力作用，则,（101）,由式（1）知：以同样的力作用在质点上，当质量m愈大，则加速度a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因此，质点的质量是其惯性的度量。,对于质量而言，当质点的速度只有在v远小于cm情况，m才认为是常量，因为存在,存在的关另重量和质量系：,其中g为重力加速度，一般取为g=9.81m/s2。,在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分别为m、kg和s，离地单位是导出单位，即事质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度时，作用于改质量的力称为1N。1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2,第三定律：（作用力与反作用力定律）,两个物体相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两个物体上。,此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体。,由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合外力）之间的关系式：,（102）,由,代入上式有，,（103）,矢量形式的质点运动方程。,10 2 质点运动微分方程,1.直角坐标系的投影式,将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：,（104）,上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。,2.自然坐标系的投影式,切线轴，主法线轴n，副法线轴b，考虑到，,（105）,上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。,用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。,包括两类问题,已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅用到微分运算，故又称为微分问题。,已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。,第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。,103 质点动力学两类基本问题,【典型题精解】,【解】,已知运动求力属第一类问题。,取加料子车为研究对象，画出受力图。,由于加料子车在提升过程中，在各段内加速度不同，故钢丝绳拉力也不同。,（1）当t=03s时，小车做匀加速运动，故其加速度为,X方向：,又,故,（1）,将此式代入（1）式，有,（2）t=315s，匀速，故,（3）t=1520s，匀减速，,故,【解】,以炮弹为研究对象，并视为质点。因不考虑地球自转影响，故炮弹的运动轨迹为一平面曲线。取质点的原始位置为坐标原点，坐标轴如图所示。,已知力求运动轨迹属第二类问题。由直角坐标形式的质点运动微分方程,积分式（1），得：,t=0时，,得,于是有，,（3）,再积分式（2），有,当t=0时，,代入上式得：,于是有,（4）,式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。将（3）、（4）式中的t消去，得炮弹得轨迹为,由解析几何知，这是位于铅直面内得一条抛物线。,【解】,该问题属于质点动力学的第一类问题。有,即,由于a为常量，故,c为积分常数，由运动的始、末条件确定。,带入（1）式，得,由质点运动微分方程,有,则,【解】,以木箱为研究对象，作受力分析如图所示。,由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB杆作平面曲线运动。,设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与A点的加速度相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故,建立图示坐标系，有,根据静滑动摩擦力的性质有：,解方程组：,可得：,为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静滑动摩擦系数为：,【思考题】,1选择题,（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？,(),Aa、b都正确。Ba、b都不正确。Ca正确，b不正确。Da不正确，b正确。,A,(2)重量为P的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时，对路面的压力如何?（）,A.压力大小等于P。B.压力大小大于P。C.压力大小小于P。D.已知条件没给够，无法判断。,B,（3）质量为m的质点，自A点以初速度v0 向上斜抛。试问质点在落地前，其加速度大小、方向是否发生变化？（空气阻力不计）（）,A.加速度大小不变、而方向在变化。B.加速度大小在变化、而方向不变。C.加速度大小、方向都在变化。D.加速度大小、方向都不变化。,D,2判断题,（1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相.（）,错,（2）已知质点的运动方程就可确定作用于质点上的力；已知作用于质点上的力也可确定质点的运动方程。（）,错,3如图所示，重为P的小球用两绳悬挂。若将绳AB突然剪断，则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力及AC在铅垂位置时的拉力。,答案：,
