计算方法14欧拉公式-常微分方程.ppt

欧拉公式 常微分方程,2016/2017 学年 第一学期（16周）,在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方 程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶 常微分方程的初值问题。我们知道，只要右端函数 f(x,y)适当光滑，如关 于 y 满足利普希茨条件 理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x)存在并 且唯一。,微分方程数值解法,在 处的导数 可以近似地表示成差商 用 近似地代替，可将初值问题离散化成 为 即 以上公式称为显式欧拉公式。为了不引起混淆 表示解 在 处 的精确值，而 表示其近似值。,显式欧拉公式,在显式欧拉公式中，除了 外，有 和。因此，用显式欧拉公式计算 所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。,显式欧拉公式几何意义,在 处的导数，可以近似表示成差商 用 代替，代替，可将初值 问题离散化成为 即 以上公式称为隐式欧拉公式。,隐式欧拉公式,公式(1)和(2)均为欧拉公式，但有本质的区 别。式(1)是关于 的一个可直接进行的计算 公式，这类公式称作显式的；而式(2)的右端含 有未知的，它实际上是一个关于 的计算 方程，这类公式称作隐式的。,欧拉公式,隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用 显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：因为 这里，L 是 f(x,y)关于 y 的利普希茨常数，如果 选取 h 充分小，使得 hL1，则当 时，有，这说明以上迭代公式是收敛的。,欧拉公式,对方程 从 到 积分，得 利用数值积分中的梯形公式 并将式中的 用 代替，用 代替 可导出 称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际 是显式和隐式欧拉公式的算术平均。,梯形公式,可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其 算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每 迭代一次，都要重新计算函数 f(x,y)的值，而迭 代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制 计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算，这样就简化了算法。,改进的欧拉公式,具体的说，先用显式欧拉公式求得 的近似 值，称这个值为预报值，预报值的精度可能 较差，再将该预报值代入梯形公式，求得，称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高，如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。,改进的欧拉公式,在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下 形式：预报：校正：改进：,改进的欧拉公式,例题,例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值 问题，其中步长。,解：欧拉计算公式：改进欧拉计算公式：,例题,解：计算结果如表所示。,例题,例题,例：利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似 值（取）。,解：问题等价于求解 记，取 则 于是欧拉计算公式：可得：,例题,