药学高数26一阶线性方程.ppt

1,二、一阶线性微分方程,当 Q(x)=0 时,称为一阶齐次线性微分方程.Q(x)称为非齐次项,(9-14),(9-15),2,非齐次方程通解的求法:,两端积分,求出待定函数 C(x),称为常数变易法.,变形得,3,常数变异法:设方程 的解为,代入原方程,则,积分得:,4,5,例9-5 求 的通解,解:先求对应的齐次线性微分方程 的通解,设 y=C(x)e-sinx,则 y=C(x)e-sinx-C(x)e-sinx cosx 代入得:,6,例9-6 求微分方程 满足初始条件 y|x=1=1的特解,解:,由公式,由初始条件,7,例9-7 求微分方程 的通解,解:由方程中,通解,8,伯努里方程:,设 z=y1-n,9,例9-8 求微分方程 通解,解:令 z=y-1,将 z 换成 y-1,得原方程的通解:,10,四、建立微分方程法(二)分析法,马尔萨斯人口模型为 N(t)=N0ek(t-t0)假设:(1)人口总数增长率与其当时的人口总数成正比,比例系数为出生率与死亡率之差;(2)出生率和死亡率都是人口总数的线性函数,且出生率随其总数的增加而减少,死亡率随其总数的增加而增加.,设 t 时刻人口总数为 N(t),出生率为 p=a-bN,死亡率为 q=g+hN,其中 a,b,g,h 均为正的常数,且,11,根据假设,Logistic函数:生物群体在受到自然环境,物质资源和社会因素等诸多外界条件影响下的才长规律,中晚期肿瘤的生长等,12,例9-13 在一艘载有 1000 人的游船上,发现了一名传染病患者,5 小时后又有 3 人被传染发病.,如果医生 10 小时后才能赶到,求此时的发病人数至少是多少?解:t 时刻染病人数为 x(t),假设传染速度与染病人数和未染病人数的乘积成正比,13,(三)微元法,例9-14:一容器内盛有 400L 盐水,含盐 8 kg.现以 8 L/min 的速度注入浓度为 1.5 kg/L 的盐水,同时以 4 L/min 的速度抽出混合均匀的盐水.求 t 时刻 溶器内盐水的的含盐量 x(t)解:在时间区间 t,t+dt 内,含盐量的增量 dx,注入的盐量为:1.58dt=12dt流出的盐量为:,14,含盐量的增量为,初始条件:x(0)=8,求得 C=800.t 时刻含盐量为,一阶非齐次线性方程公式,15,作业:习题九,13-14,