3第三章图像变换.ppt

数字图像处理研究生课程,第三章 图像变换李俊山 主讲第二炮兵工程学院,图像变换是一种简化图像处理过程和提高图像处理效果的技术。离散傅立叶变换离散余弦变换小波变换,相关基础知识线性系统的基本理论与运算,.1线性系统的基本理论与运算,设系统的特性可表示成对输入图像进行T运算，并令f1(x,y)与Tf1(x,y)、f2(x,y)与Tf2(x,y)分别代表两对不同的输入和输出图像，则当系统满足：Tf1(x,y)+f2(x,y)=Tf1(x,y)+Tf2(x,y)(3.1)关系时，称系统具有叠加性。当系统满足：Tkf(x,y)=kTf(x,y)(3.2)关系时，称系统具有齐次性。,.1.1 线性系统与非线性系统,.1线性系统的基本理论与运算,同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统。由于图像是二维的，所以这样的系统称为二维线性系统，由式(3.1)和式(3.2)定义的运算称为二维线性运算。显然，二维线性系统应一般地满足：Tkifi(x,y)=kiTfi(x,y)(3.3)凡不满足叠加性和齐次性的系统都属于非线性系统。,.1.1 线性系统与非线性系统,.1线性系统的基本理论与运算,二维函数定义为：(3.4)且(3.5),.1.2 冲击函数,函数的定义说明：在其出现的x=0，y=0处为无限大，在其它位置上值为零，但它包含的体积为1。函数是一种广义函数，也称为分配函数。,.1线性系统的基本理论与运算,在数学上，函数可由矩形函数的极限而求得。二维矩形函数定义为：(3.6)矩形函数可看作是边长为单位值的正方体，如图3.1(a)所示。显然，其体积为1。,.1.2 冲击函数,.1线性系统的基本理论与运算,一般地，对于如图3.1(b)所示的边长为|x|1/2n和|y|1/2n，高为n2的二维矩形函数，有定义：(3.7)显然，当x=时，有(x,y)=limrn(x,y),n=。,.1.2 冲击函数,.1线性系统的基本理论与运算,函数具有如下的一些性质：（1）函数是偶函数（2）卷积性质（也称为位移性）上式说明，函数f(x,y)与(x,y)的卷积结果仍为原函数f(x,y)，记为,.1.2 冲击函数,.1线性系统的基本理论与运算,同理有：（3）可分离性（4）乘积性,.1线性系统的基本理论与运算,（5）筛选性当 时（6）指数函数,.1线性系统的基本理论与运算,.1.3 二维线性移不变系统1、点扩展函数 系统对单位脉冲函数(x,y)产生的输出称为脉冲响应，并表示为h(x,y)。一般也将h(x,y)称为点扩展函数，且（3.14）,.1线性系统的基本理论与运算,.1.3 二维线性移不变系统2、移不变系统 当系统的单位脉冲输入为(x-,y-)，也即输入的单位脉冲函数延迟了、单位时，输出为h(x-,y-)，即输出结果性态不变，仅在位置上延迟了、单位，则称这样的系统为移不变系统。,显然，对于移不变系统来说，系统的输出仅与输入函数的性态有关，而与输入函数作用的起点无关。且：（3.15）,.1线性系统的基本理论与运算,3、线性移不变系统 如果一个系统既是线性系统，又是移不变系统，则该系统是线性移不变系统。,对于一个二维线性移不变系统，设其输入为f(x,y)，输出为g(x,y)，线性移不变系统的运算为T,则有：,（由式3.9a）,（线性叠加原理）,(齐次性;x,y为变量),(移不变性,卷积表示),（3.16a）,即：线性移不变系统的输出等于系统的输入与系统脉冲响应（点扩展函数）的卷积。,.1线性系统的基本理论与运算,.1线性系统的基本理论与运算,所以，二维线性移不变系统的输入、输出和运算关系可描述为：,.1线性系统的基本理论与运算,3.2 离散傅立叶变换,离散傅立叶变换(DFT）描述了离散信号的时域表示与频域表示之间的关系，是线性系统分析和信号处理中的一种最有效的数学工具，并在图像处理领域获得了极为广泛的应用。,3.2 离散傅立叶变换,.2.1 一维离散傅里叶变换,设f(x)是在时域上等距离采样得到的N点离散序列，x是离散实变量，u为离散频率变量，则离散傅里叶变换对定义为：(3.19)(3.20)其中，F(u)为正变换，f(x)=F-1F(u)为反变换；是正变换核，是反变换核。,.2.1 一维离散傅里叶变换,根据欧拉公式 有：（3.21）所以，F(u)一般是复数，并可以写成（3.22）,.2.1 一维离散傅里叶变换,其中，R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部，指数形式为（3.23）且，(3.24)其中，|F(u)|称为f(x)的傅里叶频谱，反映了f(x)的幅频特性；(u)称为相位角，反映了f(x)的相频特性。,根据欧拉公式 有：（3.21）所以，F(u)一般是复数，并可以写成（3.22）,1、二维离散傅里叶变换,.2.2 二维离散傅里叶变换,设f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的MN的二维离散信号，x和y是离散实变量，u和v为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：,(u=0,1,M-1；v=0,1,N-1)(3.26)(x=0,1,M-1；y=0,1,N-1)(3.27),1、二维离散傅里叶变换,.2.2 二维离散傅里叶变换,在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶变换对定义为：,(3.28)(3.29)其中，x,y,u,v=0,1,N-1；,.2.2 二维离散傅里叶变换,将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为f(x,y)的功率谱，记为：(3.31)反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。,2、图像傅里叶变换的意义,.2.2 二维离散傅里叶变换,（1）简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。（2）对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空间域，从而可达到简化处理和分析的目的。（3）某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。,1、基图像,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,由二维离散傅里叶反变换式（3.29）：可知，由于u和v均有0,1,N-1的N个可能的取值，所以f(x,y)由N2个频率分量组成，所以每个频率分量都与一个特定的(u,v)值相对应；且对于某个特定的(u,v)值来说，当(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，N-1；y=0，1，N-1）时，就可得到对应于该特定的(u,v)值的一幅基图像。基图像可表示为。,1、基图像,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,显然，对应于不同（u,v）值的基图像共有N2幅。,2、可分离性,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,式(3.28)和式(3.29)的二维离散傅里叶变换对可写成如下的分离形式：(3.33)(3.34),上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一维DFT来实现一个二维DFT。,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(行)变换而得到最后结果：(3.36),3、平均值,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,一幅图像的灰度平均值可表示为：(3.37),如果将u=v=0代入式(3.28)：可得：(3.38),所以，一幅图像的灰度平均值可由DFT在原点处的值求得，即：(3.39a),4、周期性,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,对于MN的图像和二维离散傅里叶变换对的一般定义式(3.26)和(3.27)，F(u,v)的周期性定义为：(m,n=0,1,2,）(3.40),5、共轭对称性,.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共轭对称性：(3.41)(3.42),.2.3 二维离散傅里叶变换的若干重要性质,6、平移性,对于MN的图像f(x,y)和二维离散傅里叶变换对的一般定义式(3.26)和(3.27)，若设用符号 表示函数与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示为：(3.43)(3.44),其中，式(3.43)说明，给函数乘以一个指数项，就相当于把其变换后的傅里叶频谱在频率域进行平移。式(3.44)说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。,1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,设f(x,y)是一幅大小为MN的图像，根据离散傅立叶变换的周期性公式(3.40)：有：(3.45),再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式(3.42)：就可得：(3.46),1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,根据(3.46)，对于u=0：当v=0时：当v=1时：当v=2时：当v=N/2时：,1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,同理，对于v=0：当u=0时：当u=1时：当u=2时：当u=M/2时：,由此可得：频谱图A区与D区和B区与C区关于坐标(M/2,N/2)对称。,1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,图3.4和图3.5是原点坐标位于(0,0)的图像的傅里叶变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。,2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,图3.4(b)/图3.5(b)的原频谱图原点在(0,0)时的频谱图,图3.7的频谱图(a)和(b)原点平移到(M/2，N/2)后的频谱图,2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,对于式(3.43):当u0=M/2，v0=N/2时，有也即,也就是说，图3.7的频谱图(a)和(b)实质上是函数 的傅里叶频谱图。,3、傅里叶变换在图像处理中的应用,.2.4 图像的傅里叶频谱特性分析,基本思路是:先用(-1)(x+y)乘以图像得(-1)(x+y)f(x,y)；然后对其进行傅里叶正变换得到原点在(M/2,N/2)之处的F(u,v)；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；再将处理的结果进行傅里叶反变换；最后给反变换的结果再乘以(-1)(x+y)就可得到最终的结果。,典型的应用有：去除图像噪声、图像数据压缩、图像识别、图像重构和图像描述等。,3.3 快速离散傅立叶变换-自学,3.4 离散余弦变换,Discrete Cosine Transform，简写为DCT,函数的偶对称性使DCT只有实数域变换结果，不再涉及复数运算，运算简单，费时少；又保持了变换域的频率特性；与人类视觉系统特性相适应；得到了更加广泛的应用。,.4.1 一维DCT,设f(x)为一实数离散序列，如图3.11(a)。,.4.1 一维DCT,.4.1 一维DCT,对fs(x)求2M个点的一维DCT，有,用y=-x对上式的第1项佐变量代换，并仍用x表示可得,.4.1 一维DCT,考虑到fs(x)为偶函数，即fs(x)=fs(-x)，并对上式运用欧拉公式可得,即,.4.1 一维DCT,即用y=x-1/2对上式作变量代换后，再用x代替y可得(3.76),.4.1 一维DCT,(3.76)对上式乘以K(u)，以便将其表示成归一正交矩阵形式，就可得f(x)的一维DCT为：(3.77a)其中(3.77b),.4.1 一维DCT,一种更直观地一维正DCT表示形式为：(3.78a)(3.78b)其中：F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量，f(x)是时域上的M点实序列。u,x=0,1,2,M-1。,.4.1 一维DCT,一维DCT正变换核都为：(3.79)且(3.80),.4.1 一维DCT,可以验证有：(3.81)也即，P是正交矩阵。由此可知，离散余弦反变换与正变换核P(x,u)形式上是相同的。但由于变换核P是不对称的，因此正、反变换矩阵并不等同，反变换核所对应的变换矩阵应为PT。,.4.1 一维DCT,这样，一维DCT反变换定义式可表示为：(3.82a)x=0,1,M-1其中(3.82b),.4.1 一维DCT,一维DCT变换的正、反变换的矢量表示形式为：(3.83a)(3.83b),.4.1 一维DCT,当M4时，一维DCT的正变换矩阵为：(3.84)一维反变换矩阵为：(3.85),.4.2 二维偶DCT,基本思想：把一个NN的图像数据矩阵延拓成二维平面上的偶对称阵列。延拓方式有两种：（1）围绕图像边缘（但不重叠）将其折叠成对称形式而得到的变换称为偶离散余弦变换；（2）通过重叠图像的第一列像素和第N-1行像素将其折叠成对称形式而得到的变换称为奇离散余弦变换。为了简化起见，下面只介绍偶离散余弦变换。,.4.2 二维偶DCT,设f(x,y)为一NN的图像数据阵列，将f(x,y)围绕其左边缘和下边缘不重叠地折叠成偶对称图像,即下图.,并表示为：(3.86),可见,2N2N的新图像的对称中心位于图像中红色的细十字虚线的交叉处，也即位于(-1/2,-1/2)处。,.4.2 二维偶DCT,对上述的新图像fs(x,y)取二维傅立叶变换可得：(3.87),由于fs(x,y)是实对称函数，欧拉展开式后的正弦项为零值，所以上式可简化成：(3.88),由于该对称函数四个象限的变换结果完全相同，所以(3.89),.4.2 二维偶DCT,把上述变换矩阵定义成归一正交矩阵形式，可得fs(x,y)的二维DCT为：(3.90a)其中(3.90b)(3.90c),.4.2 二维偶DCT,一种更直观地二维正DCT表示形式为：(3.91a)(3.91b)(3.91c)(3.91d)其中，f(x,y)是二维空间向量元素，F(u,v)是变换系数矩阵之元素。,.4.2 二维偶DCT,二维离散余弦变换的正、反变换核是相同的、对称的、可分离的，即为：(3.93)并记(3.94),二维二维DCT的正、反变换的空间矢量表示形式为:(3.95a)(3.95b),.4.2 二维偶DCT,二维二维DCT的正、反变换的空间矢量表示形式为:(3.95a)(3.95b)横坐标为，纵座标为的变换矩阵的形式为：(3.96),.4.3 DCT变换的基函数与基图像,如前所述，DCT正变换和反变换可描述为：(3.97)(3.98)其中，正、反变换核Q(x,y,u,v)也称为二维DCT变换的基函数或基图像，式(3.98)中的F(u,v)称为变换系数。,.4.3 DCT变换的基函数与基图像,图3.13显示的是当N=4时的二维DCT变换的基图像。,.4.3 DCT变换的基函数与基图像,上述的正、反变换基函数和基图像的概念也适用于傅里叶变换，只是在傅里叶变换中，正变换核与反变换核是不相同的。,.4.3 DCT变换的基函数与基图像,所以，一般地对于NN的图像和该图像的二维正向离散变换，有通式：(3.99)(3.100)其中：g(x,y,u,v)称为正变换核函数，h(x,y,u,v)称为反变换核函数，也称为基函数或基图像；T(u,v)称为变换系数。,3.5 小波变换,Wavelet Transform，简写为WT,谢 谢,