自由度线性系统振动.ppt

第2章 单自由度线性系统的振动,构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系 质量的单位为kg。,第2章 单自由度线性系统的振动,典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即Fs=Fs（x）。当Fs（x）是线性函数时，有（1-2）比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x的函数，阻尼力可表示为（1-3）这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位N.s/m。质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。,自由度与广义坐标 自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。若系统用某一组独立的坐标（参数）就能完全确定系统的运动，则这组坐标称为广义坐标,第2章 单自由度线性系统的振动,第2章 单自由度线性系统的振动,振 动 理 论 及 其 应 用,2.1 离散系统的组成,2.2 振动微分方程,2.3 自由振动,2.4 强迫振动,2.5 隔振原理,2.6 非周期激励下的响应,2.1 离散系统的组成例如：单自由度弹簧质量系统 双自由度系统 扭振系统 共同特点是有质量（转动惯量）、阻尼、激励,第2章 单自由度线性系统的振动,质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件,第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成,弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件,阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件,线性阻尼:1)大小与相对速度成正比;2)方向与阻尼器运动方向相反.,第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成,等效弹簧刚度,斜向布置的弹簧,串联弹簧,并联弹簧,并联系统,串联系统,等效阻尼系数,传动系统的等效刚度,传动系统的等效阻尼,ct1e=ct1/i 2,等效质量,传动系统的等效惯量,2.2 振动微分方程,第2章 单自由度线性系统的振动,振动微分方程,方程的解,2.3 自由振动,第2章 单自由度线性系统的振动,振动微分方程,设,方程的解为:,特征方程,讨论设：1）当2）,第2章 单自由度线性系统的振动,3),第2章 单自由度线性系统的振动,第2章 单自由度线性系统的振动.自由振动,系统对初始条件的响应(1)阻尼自由振动 当 时系统出现振动 方程的解为：其中有两个任意常，需用初始条件确定。初始条件：代入上式解得：,第2章 单自由度线性系统的振动 2.3 自由振动,()无阻尼自由振动当 时系统为无阻尼振动,方程的解为：系统对初始扰动的响应可用初始条件代入后解出。,第2章 单自由度线性系统的振动 2.3 自由振动,小结,无阻尼=0：简谐振动 振动三要素 振幅A，角频率，相位差（初相位）弱阻尼 0 1：衰减运动,第2章 单自由度线性系统的振动 2.3 自由振动,振幅按几何级数衰减 定义衰减系数 为使用方便，进一步定义对数衰减系数 j周期以后,Example:,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,讨论：1.强迫振动的运动规律可见强迫振动的响应由三部分组成：1）初始条件引起的响应；2）伴随自由振动，与激励、初始条件有关，表现在 中；3）稳态强迫振动。所以系统的稳态过程是简谐振动，只有有激励存在，振动将持续。t 趋于无穷大时，与初始条件无关。过渡过程如图,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,2.强迫振动的频率 由稳态响应知，强迫振动的频率与激励频率相同。3.强迫振动的振幅 1）与初始条件无关 2）3）幅频特性与相频特性：幅频特性：振幅与频率的关系 相频特性：相位与频率的关系 定义：当 或 时，说明激振力变化缓慢时，动力影响不大 当 时，振幅达到最大，共振。,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,即无阻尼简谐激励下，零初始条件且时,形成调制信号,全响应为,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,简谐激励,半功率带宽,幅频特性,第2章 单自由度线性系统的振动 2.4 强迫振动,第2章 单自由度线性系统的振动 典型事例,第2章 单自由度线性系统的振动 典型事例,第2章 单自由度线性系统的振动 2.5 支撑激励,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 周期激励,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 周期激励,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 周期激励,第2章 单自由度线性系统的振动 2.5 隔振原理,力的传递率,第2章 单自由度线性系统的振动 2.5 隔振原理,位移传递率,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,杜哈梅积分,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,全响应,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,第2章 单自由度线性系统的振动 2.7简谐力的功和等效阻尼,1.简谐力的功,1）位移与激励同频,2）位移与激励不同频,可见在F中只有和速度同相的分量做有用功（超前位移90度），与位移一致的分量在一周内做功为零。,第2章 单自由度线性系统的振动 2.7简谐力的功和等效阻尼,目的：把非线性阻尼等效为线性阻尼,粘性阻尼在一周内消耗的嫩量为,思路：非线性阻尼在一周内消耗的能量等于线性阻尼(粘性阻尼）在同一 周期内消耗的能量,1.阻尼的等效,第2章 单自由度线性系统的振动 2.7简谐力的功和等效阻尼,在振动的1/4周内，阻尼力做的功为FB，一个周期内做的功为4FB.,1)干摩擦阻尼,所以干摩擦阻尼的等效系数为：,2)流体阻尼,当物体以较大速度（3-15M/s)在粘度较小的流体中运动时，其受到的阻力与物体运动速度的平方成正比，即：,3)结构阻尼,由结构中的内摩擦引起。一般情况下，在一周内结构阻尼所消耗的能量与振幅平方成正比，即：,第2章 单自由度线性系统的振动 2.7简谐力的功和等效阻尼,在振动系统中存在不同性质的阻尼时，亦可折算成等效阻尼。设不同性质的阻尼在一个周期内消耗的能量分别为,4)多阻尼系统,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,振动的危害 轻则 影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度 重则 危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏；振动的利用 琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检测；振动压路机、振动给料机、振动筛分机、摇床、振动沙、振动漏斗、振动棒、振动板、振动磨机、振动输送机、风镐、冲击钻、振动时效处理、振动成型机、超声焊接、机械测振仪、换能器、机电系统的振动等。,惯性测振仪原理如图所示，被测物体的运动方程为,其中：记录纸上记录到的是相对位移，设为U，则,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,稳态解为：,当阻尼为0且 即弹簧十分柔软时 时，有：，这样U可反映A的大小。当 时，相对振幅 机械频率计原理。,振动的隔离 分析影响强迫阻尼振动振幅的因素，找到减振途径。稳态振幅为：,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,1)主动隔振（积极隔振）将振源与环境隔离，减小对其它设备的影响。目的：减小m通过弹簧和阻尼传给地基的动力。,地基受到的最大载荷为：,隔振效果用隔振系数表示，即：,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,2)被动隔振（消极隔振）将设备与环境隔离，减小环境对其它设备的影响。目的：减小m的响应,振源是地基的运动：,隔振效果用隔振系数表示，即：,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,3)扭转振动的隔离 问题：转子以等角速度w旋转，在外干扰 作用下将引起 变化 目的：减小 的变化,建立m绕o1点的摆动方程如下：,当转子产生转角变化量时，m的切向位移为：,m的切向加速度为：,而 由几何关系有；,将 代入得；,第2章 单自由度线性系统的振动 2.8单自由度系统振动的利用和隔振,系统固有频率：,m绕o1点摆动的稳态解：,其中,设：,若取，则，从而，,结论；选择合适的r,l可使圆盘转角增量很小离心摆（动力减振器）,第2章 单自由度线性系统的振动 2.7简谐力的功和等效阻尼,1.简谐力的功,1）位移与激励同频,第2章 单自由度线性系统的振动 2.6 非周期激励下的响应,拉普拉斯变换,定义,两边作拉氏变换并有,方程,定义机械阻抗,定义机械导纳,响应,22 如图35所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高度为 h 处自由降落到 m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。,第2章 单自由度线性系统的振动 习题,21 具有粘性阻尼的弹簧质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。如果每一循环振幅减小 5，那么系统所具有的等效粘性阻尼系数占临界阻尼系数的百分之几？(0.816),第2章 单自由度线性系统的振动 习题,24 弹簧质量系统，从t=0时，突加一个F0力，以后该力保持不变。试用Duhamel积分求系统的响应。,25 一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 到2200 rpm 范围实现振动隔离，若要隔离85，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？(2.68 mm),23 试导出图示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应、半功率带宽。,解：以弹簧在静载作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,3等效刚度法刚度：,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,example,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,6瑞雷法考虑弹簧质量时系统固有频率的求法,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,对于简谐振动有：另：,第2章 单自由度线性系统的振动 固有频率的求法,